本页按当前掌握的 8 个考试方向组织模拟题。每个方向 3 道，一共 24 道模拟题；第 7 组因为题型未听清，按高概率的控制框图/末端测量方向作为备用训练。
先只看题干写步骤，再展开答案。计算题至少写公式、代入和物理解释；概念题至少写定义、对比和应用。
题目：某平面五杆并联机构由固定机架、左右两条二连杆支链和一个末端点组成。把机架计入构件数，取 \(n=5\)，所有连接均为转动副，低副数 \(l=5\)，高副数 \(h=0\)。求机构自由度，并说明通常需要几个独立驱动。
平面机构用 \(F=3(n-1)-2l-h\)。
自由度为 2，通常需要两个独立驱动来确定平面末端位置，例如左右基座处两个主动转动关节。注意机架要计入 \(n\)，闭链机构不能只按活动杆数量直觉判断。
题目：一个平面串联 3R 机械臂由三个转动关节串联组成，基座固定，末端连接工具。每个转动关节角分别为 \(q_1,q_2,q_3\)，且三者可独立控制。求机构自由度，并指出电机应布置在哪里。
普通开链串联机构中，每个独立主动关节通常提供一个自由度。本题有三个独立关节变量 \(q_1,q_2,q_3\)，所以自由度为 3。
若要独立控制三个自由度，电机应布置在三个主动转动副处，分别输出关节力矩。末端工具点不是额外自由度，它的位置由三个关节角共同决定。
题目：机构 A 是平面闭链机构，给定 \(n=6,l=7,h=0\)。机构 B 是开链串联 2R 机构。分别求或说明两者自由度，并比较它们的计数思路。
机构 A 是闭链/并联类平面机构，用 Gruebler 公式：
机构 B 是开链串联 2R，有两个独立关节变量 \(q_1,q_2\)，所以 \(F_B=2\)。
计数思路区别：闭链机构要数构件、低副和高副，因为闭环约束会减少自由度；串联开链机构通常直接看独立主动关节数。
题目：比较 serial robot 和 parallel robot 的结构、优缺点，并说明二者正运动学和逆运动学的一般难易关系。
Serial robot 从基座到末端是一条主运动链，工作空间大、结构直观、正运动学通常容易，因为可沿链逐个齐次变换相乘；缺点是误差累积、刚度和承载通常较低。Parallel robot 由多条支链共同约束末端平台，刚度高、承载好、误差不沿单链累积；缺点是工作空间较小、闭链奇异和干涉更多。
运动学难易：串联通常正运动学易、逆运动学难；并联通常逆运动学相对容易、正运动学较难，因为正解要同时满足多条闭链约束。
题目：若要设计一个用于精密定位的小工作空间手术定位平台，要求刚度高、承载稳定，但运动范围不需要很大。更适合 serial 还是 parallel？说明理由。
更适合 parallel robot。原因是多条支链共同支撑末端平台，刚度和承载能力高，定位误差不容易沿单条链累积，适合小工作空间内的高精度稳定定位。
但答案也要说明代价：parallel robot 的工作空间较小，正运动学和奇异分析更复杂，需要仔细避开干涉和奇异位形。
题目：给定一个 2R 串联臂和一个五杆并联机构。说明二者在求正运动学和逆运动学时分别通常怎么做。
2R 串联臂正运动学：已知 \(q_1,q_2\)，直接写 \(x=l_1\cos q_1+l_2\cos(q_1+q_2)\)，\(y=l_1\sin q_1+l_2\sin(q_1+q_2)\)。逆运动学：给定 \((x,y)\)，用目标点与两杆构成三角形，余弦定理求 \(q_2\)，再求 \(q_1\)，通常有多解。
五杆并联机构逆运动学：给定末端点后，左右支链可分别看成二连杆三角形来求两个驱动角；正运动学：给定驱动角后，左右支链末端圆/几何约束要同时满足，常要解闭链非线性方程。
题目：以单摆为例说明什么是广义坐标、广义速度和广义力。设单摆用角度 \(q\) 描述，转轴处施加输入力矩 \(\tau\)。
广义坐标是能唯一确定系统构型的最少独立变量。单摆只需要一个角 \(q\) 就能确定杆和质点的位置，所以 \(q\) 是广义坐标。
广义速度是广义坐标对时间的导数，\(\dot q=dq/dt\)，表示角速度。广义力是与广义位移做虚功配对的量：\(\delta W=Q\delta q\)。因为本题 \(q\) 是角度，转轴输入力矩 \(\tau\) 与 \(\delta q\) 配对，所以广义力 \(Q=\tau\)。
题目：一个滑块实际位移为 \(x=3q\)，外力 \(F=5\,\mathrm N\) 沿 \(x\) 正方向作用。用虚功法求对应广义坐标 \(q\) 的广义力 \(Q\)。
先写实际外力做的虚功：
由 \(x=3q\) 得 \(\delta x=3\delta q\)，所以：
与 \(\delta W=Q\delta q\) 对比，得 \(Q=3F=15\,\mathrm N\)。这里广义力不是简单等于外力，而要乘上位移对广义坐标的导数。
题目：长度为 \(l\) 的单摆角度 \(q\) 从竖直向下方向量起，端点坐标 \(x=l\sin q\)。若端点受到水平正方向外力 \(F_x\)，求该外力对应的广义力 \(Q_q\)。
用虚功法。外力只在水平位移上做功：
由于 \(x=l\sin q\)，所以 \(\delta x=l\cos q\,\delta q\)。代入：
因此 \(Q_q=F_xl\cos q\)。评分关键是写出 \(\delta W\)，再把 \(\delta x\) 换成 \(\delta q\)。
题目：2R 平面机械臂 \(l_1=l_2=1\)，当前 \(q_1=0^\circ,q_2=90^\circ\)，关节速度 \(\dot q=[2,1]^T\,\mathrm{rad/s}\)。求末端速度。
当前姿态下 \(q_1=0^\circ\)，\(q_1+q_2=90^\circ\)，代入 2R Jacobian：
用 \(\dot x=J\dot q\)：
\(\dot q\) 是 joint space velocity，\(\dot x\) 是 task space velocity。
题目：2R 平面机械臂 \(l_1=2,l_2=1\)，当前 \(q_1=30^\circ,q_2=60^\circ\)，关节速度 \(\dot q=[0.5,-0.2]^T\)。求末端速度。
有 \(q_1+q_2=90^\circ\)。代入 Jacobian：
因此：
题目：2R 平面机械臂的 Jacobian 行列式为 \(\det J=l_1l_2\sin q_2\)。若 \(q_2=0^\circ\)，说明此时速度映射有什么问题，并解释 joint space 与 task space 的关系。
当 \(q_2=0^\circ\) 时，\(\sin q_2=0\)，所以 \(\det J=0\)，Jacobian 失去满秩。此时两根杆共线，末端在某些 task space 方向上的瞬时速度无法由有限的 joint space 速度产生。
joint space 中仍有 \(\dot q_1,\dot q_2\)，但经过 \(J(q)\) 映射到 task space 后，两个关节速度贡献不再能张成完整二维末端速度空间，这就是奇异位形。
题目：2R 平面机械臂 \(l_1=l_2=1\)，关节轨迹为 \(q_1=t,\ q_2=0\)。写出末端轨迹 \(x(t),y(t)\)，并说明几何形状。
正运动学：
代入 \(q_1=t,q_2=0\)：
末端轨迹是以原点为圆心、半径为 2 的圆。
题目：2R 平面机械臂 \(l_1=l_2=1\)，关节轨迹为 \(q_1=t,\ q_2=-t\)。写出末端轨迹并说明形状。
此时 \(q_1+q_2=0\)，第二杆始终沿世界 \(x\) 轴正方向。代入正运动学：
消去 \(t\)：
末端轨迹是以 \((1,0)\) 为圆心、半径为 1 的圆。
题目：2R 平面机械臂 \(l_1=1,l_2=0.5\)，关节轨迹为 \(q_1=0,\ q_2=t\)。写出末端轨迹。
代入正运动学：
消去 \(t\)：
轨迹是以第一杆末端 \((1,0)\) 为圆心、半径 \(0.5\) 的圆。
题目：PID 控制器为 \(C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds\)，被控对象 \(G(s)=\frac{1}{s+2}\)，单位负反馈。写出 PID 的 transfer function 和整个系统的闭环 transfer function。
PID 控制器传递函数就是：
单位负反馈闭环：
代入并整理：
题目：若控制器为 \(C(s)=K_p+K_ds\)，被控对象 \(G(s)=\frac{1}{ms^2+bs+k}\)，单位负反馈。写闭环传递函数，并说明 \(K_p,K_d\) 的典型影响。
闭环传递函数：
\(K_p\) 增大等效提高刚度，通常响应更快、稳态误差更小，但过大会增加超调和振荡风险；\(K_d\) 增大等效增加阻尼，通常减小超调，但过大会放大噪声或让响应变钝。
题目：系统采用 PID 控制和单位负反馈。若 \(K_p,K_i,K_d\) 分别增大，对响应速度、稳态误差、超调和噪声敏感性通常有什么影响？
\(K_p\)：增强当前误差的纠正力度，通常加快响应、减小稳态误差，但过大可能造成超调和振荡。
\(K_i\)：累计历史误差，能消除恒定扰动造成的稳态误差；但过大容易积分饱和、超调变大、响应变慢。
\(K_d\)：对误差变化率作用，相当于增加阻尼，通常减小超调和振荡；但求导会放大高频噪声，所以对传感器噪声敏感。
这一组不是确认考题，只作为第 7 题未知情况下的高概率控制框图备用训练。
题目：若机器人末端位移 \(x\) 可由外部传感器直接测得，要求画出任务空间闭环控制框图，并说明误差如何定义。
框图结构：参考输入 \(x_d\) 与传感器测得的实际末端 \(x\) 在求和点相减，得到任务空间误差 \(e_x=x_d-x\)。误差进入控制器，例如 PID 或任务空间控制器，再驱动机器人/执行器；末端传感器把实际 \(x\) 反馈回来。
优点是误差直接定义在 task space，贴近临床工具末端；风险是外部传感器可能有噪声、延迟、遮挡或标定误差。
题目：若不能直接测量末端位移，只能测关节角 \(q\)，应如何构造末端位置反馈？请说明控制框图中的反馈支路。
反馈支路应先由编码器测得 \(q\)，再通过正运动学估计末端位置 \(\hat x=f(q)\)。求和点比较 \(x_d\) 和 \(\hat x\)，得到 \(e_x=x_d-\hat x\)，再进入任务空间控制器。
评分要点：必须写出“测 \(q\) → 正运动学 \(f(q)\) → \(\hat x\) → 与 \(x_d\) 比较”。风险是模型误差、连杆柔性、工具安装误差会让 \(\hat x\) 和真实末端位置不完全一致。
题目：比较关节空间控制和任务空间控制。若医生关心的是针尖位置，为什么任务空间控制更直观？
关节空间控制比较 \(q_d-q\)，反馈量通常来自编码器，实现简单、适合底层伺服。但关节误差不一定直接等于末端针尖误差。
任务空间控制比较 \(x_d-x\) 或 \(x_d-\hat x\)，误差直接定义在针尖位置/姿态上，更贴近临床任务。它需要正运动学和 Jacobian 做关节空间与任务空间之间的转换，因此实现更复杂，也更依赖模型和传感器精度。
题目：定性描述如何设计一个用于影像引导穿刺或活检的医疗机器人，并说明主要挑战。
可按模块答：应用目标是把穿刺针精确送到病灶位置，减少医生手抖和重复穿刺。机构可选串联小机械臂或并联定位平台，需满足针尖定位和进针方向调整。感知上结合编码器、力传感器和 CT/超声/MRI 影像配准。控制上自由空间重位置控制，接触组织后要限制进针力，可用力反馈、阻抗或导纳提高安全性。
挑战：软组织会变形和移动，影像和机器人坐标需要配准，针会弯曲，力传感器有噪声，系统要无菌、可急停、可靠并兼容临床流程。
题目：定性描述如何设计一个上肢康复机器人，并说明它会遇到哪些控制和临床挑战。
应用目标是辅助患者完成重复、可量化的上肢训练。机构可采用外骨骼或末端牵引式机器人，需覆盖肩/肘/腕或手柄运动工作空间。感知包括关节角、末端位置、交互力和患者主动参与程度。控制可采用 high-level 任务/力场设计，middle-level 导纳把患者力转为期望运动，low-level 位置或力控制跟踪。
挑战：患者能力差异大，痉挛和疲劳会改变交互力；机器人太硬会不安全，太软又训练不足；需要调节虚拟刚度/阻尼，保证安全、舒适、可量化评估并适应不同患者。
题目：定性描述如何设计一个微创手术机器人，并说明为什么医疗机器人比普通工业机器人更难。
微创手术机器人要通过小切口操纵器械，目标是提高操作精度、过滤手抖、减小创伤。机构上需要足够自由度和远心约束 RCM，末端工具要能夹持、切割或缝合。感知上需要内窥镜/视觉、关节编码器、可能还需要力反馈。控制上通常医生在环，主从控制把医生手部运动映射到器械末端，接触组织时要控制力和柔顺性。
难点来自医学环境：人体组织柔软、湿滑、会变形；视野有限，力反馈困难；延迟和误差可能直接影响患者安全；器械要无菌、可消毒、可靠、可急停，还要满足监管审批和医生操作习惯。