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Chapter 4 · Motion Control

运动控制：把模型变成能收敛的控制器

运动控制考试常考系统分类、开环闭环、Laplace/传递函数、PID、关节空间与任务空间、计算力矩控制。计算题集中在传递函数、二阶系统、PID 输出和计算力矩。

LaplacePID关节/任务空间Computed Torque

闭环控制：根据误差修正输入，而不是只发一次命令。

1. Euler 公式、Fourier 与频域直觉

Chapter6 开头从 Euler theorem 和 Fourier series 讲起。考试中通常不要求复杂展开，但可能问为什么要做频域分析：控制系统中的振动、噪声、滤波都和频率有关。

e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta

f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos n\omega_0t+B_n\sin n\omega_0t\right)

Euler 公式把正弦和余弦写成复指数形式，目的不是为了把问题变复杂，而是因为复指数在求导和积分时形式不变。控制系统里很多输入、振动和噪声都可以看成不同频率正弦波的组合，Fourier series 就是在说：一个周期信号可以拆成直流分量和一串不同频率的正弦/余弦分量。拆开之后，系统对低频和高频的反应就能分开分析，例如低频命令希望跟踪，高频噪声希望抑制。

非周期信号可从 Fourier series 过渡到 Fourier transform；Laplace transform 则进一步引入收敛因子，更适合控制系统分析。简单说，Fourier 更偏“频率成分是什么”，Laplace 更偏“系统在输入作用下会不会稳定、瞬态怎样变化”。

2. Laplace 与传递函数

课件先讲 Laplace，是为了把微分方程变成代数方程。常见变换：

\mathcal L\{1\}=\frac1s,\qquad \mathcal L\{t\}=\frac1{s^2},\qquad \mathcal L\{e^{-at}\}=\frac1{s+a}

\mathcal L\{\dot x(t)\}=sX(s)-x(0)

这里的 \(\dot x(t)\) 表示 \(x(t)\) 对时间求一阶导数，也就是速度；\(\ddot x(t)\) 表示再对时间求一次导数，也就是加速度。Laplace 变换的求导性质可以理解为：在时域里“变化率”很难直接代数处理，变到 \(s\) 域后，一阶求导主要变成乘以 \(s\)，但要扣掉初始值 \(x(0)\)。如果继续对 \(\dot x\) 再求导，就得到二阶导数的变换：

\mathcal L\{\ddot x(t)\}=s^2X(s)-sx(0)-\dot x(0)

所以题目一旦说“零初值”，就是告诉你 \(x(0)=0,\dot x(0)=0\)，一阶导可以直接写成 \(sX(s)\)，二阶导可以直接写成 \(s^2X(s)\)。这也是传递函数题总强调零初值的原因。

控制里常见的模型本来是微分方程，例如质量-弹簧-阻尼系统要写 \(\ddot x,\dot x,x\)。在时域里直接解微分方程比较麻烦；经过 Laplace 变换后，求导大致变成乘以 \(s\)，于是微分方程变成关于 \(X(s)\) 和输入 \(U(s)\) 的代数方程。传递函数 \(G(s)=Y(s)/U(s)\) 表示零初值条件下，系统输出相对于输入的比例关系。它不是某一个时刻的比例，而是一个包含动态特性的“算子比例”。

例 4.1 由微分方程求传递函数

仿 Chapter6

场景交代：画一个一维质量-弹簧-阻尼系统：质量块在水平导轨上运动，左侧通过弹簧和阻尼器连接到固定墙，外力 \(F\) 水平作用在质量块上，输出为质量块位移 \(x\)。

题目：系统满足 \(m\ddot x+b\dot x+kx=F\)，初值为 0。求 \(G(s)=X(s)/F(s)\)。

质量-弹簧-阻尼系统示意：微分方程经过 Laplace 变换得到传递函数。
图中元素：左侧固定端相当于墙，绿色锯齿是弹簧 \(k\)，黄色长条是阻尼器 \(b\)，右侧蓝色块是质量 \(m\)，外力 \(F\) 水平作用在质量块上。

建模顺序：

先画输入、控制器、被控对象和反馈信号，明确误差从哪里来。
把时域微分、误差积分或误差导数分别对应到公式项。
按公式逐项代入，保留每一项的中间结果。
最后解释输出大小和符号对系统运动意味着什么。

解析过程

先确认题目要求的是传递函数，所以默认零初值。零初值意味着 \(\mathcal L\{\dot x\}=sX(s)\)，\(\mathcal L\{\ddot x\}=s^2X(s)\)，不会额外出现初始位置和初始速度项。

对方程作 Laplace 变换后，质量项 \(m\ddot x\) 变成 \(ms^2X(s)\)，阻尼项 \(b\dot x\) 变成 \(bsX(s)\)，弹簧项 \(kx\) 变成 \(kX(s)\)。它们都包含 \(X(s)\)，所以可以合并。

$$(ms^2+bs+k)X(s)=F(s)$$

最后把输出 \(X(s)\) 除以输入 \(F(s)\)，得到传递函数：

G(s)=\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{ms^2+bs+k}

分母里的 \(ms^2+bs+k\) 就是系统的动态特征。质量越大，惯性越强；阻尼越大，速度相关阻碍越强；刚度越大，位移恢复力越强。

易错点：传递函数默认零初值；有非零初值时会多出初值项。

例 4.1b 闭环控制传递函数

基础变式

场景交代：画标准单位负反馈框图：参考输入先与输出反馈相减形成误差，误差进入前向通道 \(G(s)\)，输出再通过 \(H(s)=1\) 回到比较点的负端。

题目：单位负反馈系统前向通道为 \(G(s)=\frac{K}{s+2}\)，反馈 \(H(s)=1\)。求闭环传递函数 \(T(s)\)，并说明 \(K\) 增大对闭环极点的影响。

单位负反馈框图示意：闭环传递函数由前向通道和反馈通道共同决定。
图中元素：左侧 \(r\) 是参考输入，圆圈是求和点，绿色框是前向通道 \(G(s)\)，下方橙色回路是反馈 \(H(s)\)，输出 \(y\) 回到负端形成误差。

建模顺序：

先画输入、控制器、被控对象和反馈信号，明确误差从哪里来。
把时域微分、误差积分或误差导数分别对应到公式项。
按公式逐项代入，保留每一项的中间结果。
最后解释输出大小和符号对系统运动意味着什么。

解析过程

负反馈闭环传递函数不是直接等于 \(G(s)\)，而是：

T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}

代入 \(G(s)=K/(s+2)\)、\(H(s)=1\)：

T(s)=\frac{\frac{K}{s+2}}{1+\frac{K}{s+2}}=\frac{K}{s+2+K}

闭环极点来自分母 \(s+2+K=0\)，所以 \(s=-(2+K)\)。当 \(K\) 增大时，极点向更负的方向移动，一阶系统响应通常更快；但真实系统里增益过大也可能带来噪声放大、执行器饱和或未建模动态问题。

易错点：闭环分母是 \(1+GH\)，不是把 \(G\) 和 \(H\) 简单相加。

时域	Laplace 域	常用场景
\(1\)	\(1/s\)	阶跃输入
\(t\)	\(1/s^2\)	斜坡输入
\(e^{-at}\)	\(1/(s+a)\)	一阶衰减
\(\dot x\)	\(sX(s)-x(0)\)	微分方程变代数式

3. 系统分类、传递函数和状态空间

概念	判断方法	例子
线性	满足叠加性和齐次性	\(\dot x+2x=u\) 线性；\(\dot x+x^2=u\) 非线性。
时不变	参数不显含时间	\(\dot x+2x=u\) 时不变；\(\dot x+t x=u\) 时变。
开环	输出不反馈影响输入	预先给一串力矩。
闭环	测量输出并修正误差	编码器反馈关节角。
Bang-Bang	控制量只在两个极值之间切换	温控开关、继电器控制；简单但易振荡。

Bang-Bang controller 又叫 on-off / two-position controller。它不连续调节控制量，而是根据误差符号直接输出最大正值或最大负值，例如 \(u=+U_{max}\) 或 \(u=-U_{max}\)。优点是结构非常简单、执行器可以快速饱和输出；缺点是接近目标时会来回切换，容易产生抖振、超调或磨损。它适合精度要求不高、允许一定滞环的场合；如果题目要求平滑跟踪或精密手术操作，一般要用 PID、状态反馈或模型补偿控制。

例 4.1c Bang-Bang 控制输出判断

概念+计算

场景交代：画一个单输入单输出闭环系统，参考值 \(r\) 与测量值 \(y\) 相减得到误差。控制器只有两个饱和值 \(+U_{max}\) 和 \(-U_{max}\)，不输出中间值。

题目：某 on-off 控制器设定 \(U_{max}=5\)，误差 \(e=r-y\)。若 \(e>0\) 输出 \(+U_{max}\)，若 \(e<0\) 输出 \(-U_{max}\)。当 \(r=10\)，测量值依次为 \(8,9.7,10.2\) 时，分别输出多少？

Bang-Bang 控制示意：误差超过阈值时输出在两个极值之间切换。
图中元素：横轴是时间，输出只有上下两个平台：\(+U_{max}\) 和 \(-U_{max}\)；当误差符号改变时，控制量直接跳到另一个极值。

建模顺序：

先画输入、控制器、被控对象和反馈信号，明确误差从哪里来。
把时域微分、误差积分或误差导数分别对应到公式项。
按公式逐项代入，保留每一项的中间结果。
最后解释输出大小和符号对系统运动意味着什么。

解析过程

Bang-Bang 控制只看误差符号，不根据误差大小连续调节。先分别计算三次误差：

e_1=10-8=2>0,\qquad e_2=10-9.7=0.3>0,\qquad e_3=10-10.2=-0.2<0

前两次误差为正，说明输出还低于目标，需要正向最大控制；第三次误差为负，说明已经超过目标，需要反向最大控制。

u_1=+5,\qquad u_2=+5,\qquad u_3=-5

注意 \(e=2\) 和 \(e=0.3\) 的输出一样，都是 \(+5\)。这正是 Bang-Bang 的特点：简单、强力，但接近目标时容易在正负输出之间切换。

易错点：Bang-Bang 看误差符号，不按误差大小比例缩放。

状态空间模型适合 MIMO 系统，也适合描述机器人内部状态。常见形式：

\dot x=Ax+Bu,\qquad y=Cx+Du

传递函数还会出现零点、极点和闭环传递函数。负反馈系统若前向通道为 \(G(s)\)、反馈为 \(H(s)\)：

T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}

系统分类不是为了背名词，而是为了判断能用哪套工具。线性时不变系统可以用传递函数、极点零点和频域方法；非线性机器人系统通常只能在某个工作点附近线性化，或者直接用非线性控制方法。开环控制像提前播放一段命令，模型错了也不会自动纠正；闭环控制会把实际输出测回来和期望比较，因此能抵抗扰动。状态空间则把系统内部记忆写成状态 \(x\)，输入 \(u\) 通过 \(B\) 影响状态变化，输出 \(y\) 通过 \(C,D\) 从状态和输入中读出。对于多关节机器人，状态空间比单输入单输出传递函数更自然。

状态空间里的 \(x\) 不是位置坐标的那个 \(x\)，而是“状态向量”。例如一个一维质量块可以取状态 \(x_1=\) 位置、\(x_2=\) 速度，那么 \(\dot x_1=x_2\)，\(\dot x_2=\) 加速度。这样二阶微分方程就被改写成两个一阶微分方程。机器人里也类似，常把状态写成 \([q,\dot q]^T\)：前半是关节位置，后半是关节速度，状态的导数就包含 \(\dot q\) 和 \(\ddot q\)。

闭环传递函数的分母 \(1+G(s)H(s)\) 很重要，因为闭环极点来自这个分母。控制器调得好，本质上就是把闭环极点放到让系统稳定、响应快、超调不过大的位置。

4. PID 控制：计算题和概念题都常考

u(t)=K_pe(t)+K_i\int_0^t e(\xi)d\xi+K_d\dot e(t)

PID 控制器只看误差 \(e=q_d-q\) 或 \(e=x_d-x\)，然后用三种方式生成控制量。P 项看当前误差，误差越大推得越用力；I 项看过去误差的累计，适合消除长期偏差，例如重力或摩擦造成的稳态误差；D 项看误差变化速度，像给系统加阻尼，误差正在快速变大时提前刹车，误差正在快速减小时避免冲过头。它之所以常考，是因为计算简单，但物理含义很丰富。

把这个公式拆开看会更清楚：\(e(t)\) 是当前时刻的误差；\(\int_0^t e(\xi)d\xi\) 是从开始到现在的误差面积，也就是“过去欠了多少账”；\(\dot e(t)=de/dt\) 是误差对时间的一阶导数，表示误差正在变大还是变小。如果 \(\dot e>0\)，误差在扩大，D 项会推动系统更快纠正；如果 \(\dot e<0\)，误差在缩小，D 项通常会减少输出，防止冲过目标。这里积分变量写成 \(\xi\)，只是为了说明积分是在从 0 到 \(t\) 的整个历史上累加，不是只看当前一个点。

例 4.2 PID 输出计算

必会

场景交代：画一个关节位置闭环：期望关节角和编码器测得的实际关节角相减得到误差。PID 控制器同时读取当前误差、误差历史积分和误差变化率。

题目：某时刻误差 \(e=0.2\)，误差积分 \(\int e\,dt=0.5\)，误差导数 \(\dot e=-0.1\)。若 \(K_p=10,K_i=2,K_d=1\)，求控制输出。

PID 数值分项示意：控制输出不是只看当前误差，而是把 P、I、D 三项按各自增益加权后相加。
图中元素：绿色框是比例项 \(K_pe=10\times0.2=2\)，蓝色框是积分项 \(K_i\int e\,dt=2\times0.5=1\)，黄色框是微分项 \(K_d\dot e=1\times(-0.1)=-0.1\)；三项进入求和点后得到 \(u=2.9\)。

建模顺序：

先画输入、控制器、被控对象和反馈信号，明确误差从哪里来。
把时域微分、误差积分或误差导数分别对应到公式项。
按公式逐项代入，保留每一项的中间结果。
最后解释输出大小和符号对系统运动意味着什么。

解析过程

先把三项分开算，这样不容易混淆。比例项是 \(K_pe=10\times0.2=2\)，表示当前误差带来的主要纠正作用。积分项是 \(K_i\int e\,dt=2\times0.5=1\)，表示过去累积误差还在推动控制器继续修正。导数项是 \(K_d\dot e=1\times(-0.1)=-0.1\)，因为误差正在减小，所以它会略微抵消前两项。

$$u=10(0.2)+2(0.5)+1(-0.1)=2+1-0.1=2.9$$

最终输出 \(2.9\)。从控制效果看，P 和 I 想继续往误差减小方向推，D 项判断误差已经在回落，于是提供一点“刹车”，这就是 D 项减少超调的原因。

易错点：积分项使用误差累积，不是当前位置；导数项符号要看误差变化方向。

例 4.3 P 控制稳态误差

概念+计算

场景交代：画一个静止关节受到恒定外扰力矩，例如重力或摩擦偏置。控制器只有比例项，必须靠保留非零位置误差来产生抵消扰动的力矩。

题目：关节受恒定重力扰动 \(2\,\mathrm{N\,m}\)。只用 P 控制 \(\tau=K_pe\)，\(K_p=20\)。静态误差是多少？

P 控制稳态误差示意：只有比例项时，要靠非零误差产生力矩来抵消恒定扰动。
图中元素：右侧红色箭头是恒定扰动 \(2\,\mathrm{N\,m}\)，左侧 P 控制器输出 \(\tau=K_pe=20e\)。静态平衡要求 \(20e=2\)，所以误差必须保留 \(e=0.1\)，这就是只用 P 控制时的稳态误差。

建模顺序：

先画输入、控制器、被控对象和反馈信号，明确误差从哪里来。
把时域微分、误差积分或误差导数分别对应到公式项。
按公式逐项代入，保留每一项的中间结果。
最后解释输出大小和符号对系统运动意味着什么。

解析过程

稳态时关节不再运动，加速度和速度都为零，但外部扰动仍然存在。只有 P 控制时，控制器输出来自误差本身：\(\tau=K_pe\)。如果误差真的为零，P 控制输出也为零，就无法抵消 \(2\,\mathrm{N\,m}\) 的恒定扰动。

因此稳态必须留下一个非零误差，让 P 项产生恰好等于扰动的力矩：

20e=2\Rightarrow e=0.1\,\mathrm{rad}

所以仅 P 控制会有稳态误差。加入积分项后，即使当前误差变小，历史误差积分仍能提供额外输出；加入重力/扰动补偿也能减少 P 项需要承担的负担。

易错点：不要说 P 控制一定能精确到零误差；有恒定扰动时通常不能。

例 4.3b PID 三项作用变式

进阶小题

场景交代：画同一个关节闭环，但此刻实际位置刚好等于期望位置，所以当前误差为零。过去的误差积分和当前误差变化率仍储存在控制器中，可能继续产生输出。

题目：某时刻 \(e=0\)，误差积分 \(\int e\,dt=0.6\)，误差导数 \(\dot e=0.2\)。若 \(K_p=8,K_i=1.5,K_d=2\)，求 \(u\)，并解释为什么误差为零时输出仍可能不为零。

误差为零时 PID 仍可输出的示意：P 项只看当前误差，因此为 0；I 项和 D 项分别看历史累计和变化率，所以仍可能不为零。
图中元素：绿色框 \(P=8\times0=0\)，蓝色框 \(I=1.5\times0.6=0.9\)，黄色框 \(D=2\times0.2=0.4\)，三项相加得到 \(u=1.3\)。

建模顺序：

先画输入、控制器、被控对象和反馈信号，明确误差从哪里来。
把时域微分、误差积分或误差导数分别对应到公式项。
按公式逐项代入，保留每一项的中间结果。
最后解释输出大小和符号对系统运动意味着什么。

解析过程

按 PID 公式逐项代入。当前误差为零，所以比例项没有输出；但积分项看的是历史误差面积，导数项看的是误差变化趋势，它们都可能不为零。

u=K_pe+K_i\int e\,dt+K_d\dot e=8(0)+1.5(0.6)+2(0.2)=1.3

这说明“当前误差为零”不等于“控制输出为零”。积分项可能还在补偿过去长期存在的偏差，D 项可能在根据误差变化趋势提前调整。实际控制中这也提醒我们：积分项太大可能导致 windup，D 项对噪声会敏感。

易错点：PID 不只看当前误差；I 看历史，D 看变化率。

5. 关节空间、任务空间与独立关节控制

关节空间

让 \(q(t)\) 跟踪 \(q_d(t)\)。编码器直接测量，控制简单。

$$e_q=q_d-q$$

任务空间

让末端 \(x(t)\) 跟踪 \(x_d(t)\)，需要运动学/Jacobian 转换。

\dot x=J(q)\dot q

Independent-joint control 又叫 decentralized control：把多关节机械臂近似看成多个 SISO 关节，各关节分别用 PID/PD 控制。

关节空间控制的优势是反馈直接：编码器测到的就是 \(q\)，所以误差 \(q_d-q\) 很容易得到。任务空间控制更贴近手术工具末端的位置和姿态，因为医生关心的通常是针尖、夹持器或内窥镜末端在哪里；但它必须借助正运动学和 Jacobian 把末端误差转换成关节运动。独立关节控制进一步简化，把每个关节当成单独的小系统，这样实现容易，但忽略了多关节之间的惯性耦合、科氏项和重力耦合，所以速度高、负载重或姿态变化大时效果会下降。

考

独立关节控制实现简单，但忽略关节耦合；低速轻载时常可用，高速重载时需要动力学补偿。

6. 计算力矩控制

核心是用动力学模型抵消非线性，让误差系统变成容易调的二阶系统。

\tau=M(q)v+C(q,\dot q)\dot q+g(q)

v=\ddot q_d+K_d(\dot q_d-\dot q)+K_p(q_d-q)

计算力矩控制可以理解为“先设计一个理想加速度 \(v\)，再用动力学模型把这个理想加速度翻译成真实电机力矩”。\(v\) 里面包含期望加速度、速度误差反馈和位置误差反馈；如果模型完全准确，把 \(\tau\) 代回机器人动力学后，复杂的 \(M,C,g\) 会被抵消，误差动态近似变成 \(\ddot e+K_d\dot e+K_pe=0\)。这就是它比普通 PID 更适合高速多关节机器人的原因：它不是假装耦合不存在，而是主动补偿耦合。

按课件的说法，\(v\) 也可以看成“前馈加速度 + 反馈修正”。\(\ddot q_d\) 是 feedforward：它来自规划轨迹，即使当前误差为零也应该提前给出，让机器人按期望加速度运动；\(K_d(\dot q_d-\dot q)+K_p(q_d-q)\) 是 feedback：它根据实际测量到的位置和速度误差纠偏。两者合在一起，既利用模型预先给力，又在模型不准或有扰动时靠反馈拉回来。

这个“抵消”可以写得更直观。机器人真实动力学是 \(M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+g(q)=\tau\)。如果控制器给 \(\tau=M(q)v+C(q,\dot q)\dot q+g(q)\)，两边相同的 \(C\dot q\) 和 \(g\) 会消掉，剩下 \(M(q)\ddot q=M(q)v\)，所以在理想模型下 \(\ddot q=v\)。再定义误差 \(e=q_d-q\)，则 \(\dot e=\dot q_d-\dot q\)，\(\ddot e=\ddot q_d-\ddot q\)。把 \(\ddot q=v\) 代入，就得到 \(\ddot e+K_d\dot e+K_pe=0\)，这说明误差像一个带阻尼的二阶系统一样衰减。

例 4.4 计算力矩控制输出

必会

场景交代：画单关节机器人，控制器先根据期望轨迹和实际测量值算出虚拟加速度 \(v\)，再通过动力学模型把 \(v\) 转换成关节电机需要输出的力矩。

题目：单关节模型 \(M=2\), \(C\dot q=0.5\), \(g=3\)。期望 \(q_d=1,\dot q_d=0,\ddot q_d=0\)，当前 \(q=0.8,\dot q=0.1\)，\(K_p=10,K_d=4\)。求 \(\tau\)。

计算力矩控制数值流程示意：先用轨迹误差算虚拟加速度 \(v\)，再把 \(v\) 代入动力学模型得到实际力矩。
图中元素：左侧先算位置误差 \(q_d-q=0.2\) 和速度误差 \(\dot q_d-\dot q=-0.1\)；中间得到 \(v=0+10(0.2)+4(-0.1)=1.6\)；右侧动力学补偿为 \(\tau=2(1.6)+0.5+3=6.7\)。

建模顺序：

先画输入、控制器、被控对象和反馈信号，明确误差从哪里来。
把时域微分、误差积分或误差导数分别对应到公式项。
按公式逐项代入，保留每一项的中间结果。
最后解释输出大小和符号对系统运动意味着什么。

解析过程

先算虚拟输入 \(v\)。位置误差是 \(q_d-q=1-0.8=0.2\)，速度误差是 \(\dot q_d-\dot q=0-0.1=-0.1\)。期望加速度为 0，所以 \(v\) 完全来自反馈项。

$$v=0+4(0-0.1)+10(1-0.8)=-0.4+2=1.6$$

这个 \(v=1.6\) 可以理解为控制器希望关节产生的“修正加速度”：位置落后带来正加速度，当前速度偏正带来一点负阻尼修正。

第二步用机器人动力学把 \(v\) 转成真实力矩。惯性项需要 \(Mv=2\times1.6=3.2\)，再加上速度相关项 \(0.5\) 和重力项 \(3\)。

\tau=Mv+C\dot q+g=2(1.6)+0.5+3=6.7\,\mathrm{N\,m}

最后的 \(6.7\,\mathrm{N\,m}\) 不是单纯的反馈力矩，而是“反馈想要的加速度”加上模型补偿后的总力矩。

易错点：先算虚拟输入 \(v\)，再代入动力学补偿；别把 \(K_p\) 直接加到 \(\tau\) 上。

例 4.5 计算力矩控制含前馈加速度

进阶变式

场景交代：画单关节机器人正沿规划轨迹运动，当前位置和速度都跟上了期望值，但规划轨迹下一瞬间需要继续加速。控制器因此仍要输出前馈加速度对应的力矩。

题目：单关节模型 \(M=2\)，\(C\dot q=0.3\)，\(g=1\)。当前 \(q=q_d\)、\(\dot q=\dot q_d\)，但期望轨迹加速度 \(\ddot q_d=2\)。求计算力矩控制输出。

计算力矩前馈加速度示意：即使位置误差和速度误差都为零，只要期望轨迹要求加速度，控制器仍要输出对应力矩。
图中元素：左侧框表示 \(q=q_d,\dot q=\dot q_d\)，所以反馈误差项为 0；中间保留前馈加速度 \(v=\ddot q_d=2\)；右侧代入动力学得到 \(\tau=2(2)+0.3+1=5.3\)。

建模顺序：

先画输入、控制器、被控对象和反馈信号，明确误差从哪里来。
把时域微分、误差积分或误差导数分别对应到公式项。
按公式逐项代入，保留每一项的中间结果。
最后解释输出大小和符号对系统运动意味着什么。

解析过程

这个题专门考前馈项。虽然当前位置误差和速度误差都为零，计算力矩控制中的虚拟输入 \(v\) 仍然包含期望加速度 \(\ddot q_d\)。

v=\ddot q_d+K_d(\dot q_d-\dot q)+K_p(q_d-q)=2+0+0=2

然后把 \(v\) 代入动力学补偿：

\tau=Mv+C\dot q+g=2(2)+0.3+1=5.3\,\mathrm{N\,m}

这说明跟踪一条有加速度的轨迹时，即使“此刻没误差”，控制器也要提前给出加速所需力矩。这个提前量就是 feedforward 的作用。

易错点：误差为零时，前馈加速度 \(\ddot q_d\) 仍然可能要求非零力矩。

概念题与计算题自测

概念 1

场景交代：画控制框图：开环只从输入命令直接到机器人，闭环则把传感器测得的输出反馈回来，与期望值相减形成误差。

闭环控制相比开环控制的主要优势是什么？

开环/闭环对比示意：闭环把输出测量反馈回来修正误差。
图中元素：上方是开环，命令直接进入机器人；下方是闭环，传感器测得输出并反馈到求和点，与期望值相减形成误差。

查看答案与解析

闭环控制会测量实际输出，并把实际输出和期望输出相减形成误差。只要存在误差，控制器就会继续修正，因此它能抵抗模型不准、外界扰动和负载变化。开环控制只按预先计算好的输入执行，如果机器人模型和真实系统有偏差，它自己不会发现，也不会自动补偿。

计算 1

场景交代：把系统看成一维输入输出模型，输出为位移 \(x(t)\)，输入为 \(u(t)\) 或外力；零初值表示初始位移和速度都取 0。

求 \(G(s)=X(s)/U(s)\)：\(\ddot x+3\dot x+2x=u\)，零初值。

二阶传递函数代入示意：零初值下，二阶导数变为 \(s^2X(s)\)，一阶导数变为 \(sX(s)\)，所有输出项合并后再除以输入。
图中元素：左侧输入为 \(u(t)\)，中间系统框写出 \(\ddot x+3\dot x+2x=u\)，其中质量项系数为 1、阻尼项系数为 3、刚度项系数为 2；右侧输出为 \(x(t)\)，下方给出 \(G(s)=1/(s^2+3s+2)\)。

查看答案与解析

零初值时，\(\ddot x\) 变成 \(s^2X(s)\)，\(\dot x\) 变成 \(sX(s)\)。把所有含 \(X(s)\) 的项合并到左边，输入 \(U(s)\) 在右边。

$$(s^2+3s+2)X(s)=U(s)$$

G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+3s+2}

概念 2

场景交代：画一个带传感器反馈的控制系统，测量信号中叠加高频噪声；微分环节会对快速变化的噪声特别敏感。

D 项为什么容易受噪声影响？

噪声反馈示意：微分项会放大测量信号中的快速变化成分。
图中元素：右侧传感器测得输出 \(y\) 时混入红色噪声 \(n\)，反馈信号进入误差求和点；D 项对误差求导，因此高频噪声更容易造成控制输出抖动。

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D 项对误差求导，而求导会放大快速变化的信号。传感器噪声通常变化很快、频率较高，即使幅值不大，求导后也可能变成很大的尖峰控制量。因此实际 PID 中 D 项常需要滤波，或者只对测量值的低频部分使用微分。

本章掌握度

我能从微分方程求传递函数。我能计算 PID 输出并解释 P/I/D 作用。我能区分开环闭环、线性非线性、时变时不变。我能做计算力矩控制的基本代入题。