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Chapter 1 · Exam Foundation

数学与工程力学基础

课件 ch09、ch10、ch12 的例题很像 Hibbeler 工程力学：给函数、给图、给力，要求你从运动学关系或动力学方程算速度、加速度、力、冲量、能量。这里按考试题型整理。

对应 ch09/ch10/ch12重点：计算先会基础再进机器人

很多机器人末端轨迹题，最后都会回到质点运动学。

1. 运动学三件套：位置、速度、加速度

考试常给 \(s(t)\)、\(v(t)\)、\(a(t)\) 中的一个，让你通过求导或积分找到另外两个。不要把“匀加速公式”乱套到变加速度题里。

v=\frac{ds}{dt},\qquad a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2},\qquad a\,ds=v\,dv

这三个式子其实是在讲同一件事：位置 \(s\) 随时间变化的快慢叫速度，速度随时间变化的快慢叫加速度。前两个式子来自导数定义，适合题目直接给时间函数的时候使用。第三个式子不是新公式，而是把 \(a=dv/dt\) 里的时间变量消掉：因为 \(v=ds/dt\)，所以 \(a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=v\frac{dv}{ds}\)，两边乘以 \(ds\) 就得到 \(a\,ds=v\,dv\)。因此只要题目把加速度写成位置的函数，例如 \(a=4s\)，就应该用这个关系，而不是硬把 \(a\) 当常数。

考

判断技巧：如果 \(a=a(t)\)，对时间积分；如果 \(a=a(s)\)，用 \(a\,ds=v\,dv\)；如果给 \(v-s\) 图像，斜率相关的是 \(dv/ds\)，面积不一定直接是位移。

ch09 还专门提到 erratic motion，也就是运动规律不一定是常数加速度，可能用曲线或实验数据给出。遇到图像题时要把“斜率”和“面积”分清：\(s-t\) 图的斜率是速度，\(v-t\) 图的斜率是加速度、面积是位移，\(a-t\) 图的面积是速度变化量。如果题目给的是 \(v-s\) 图，横轴不是时间，不能把面积直接当位移；这时常用 \(a=v\,dv/ds\)，也就是 \(a\,ds=v\,dv\)。

给定图像	斜率表示	面积表示	常用结论
\(s-t\)	\(v=ds/dt\)	通常不直接用	再对速度求导得加速度。
\(v-t\)	\(a=dv/dt\)	\(\Delta s=\int vdt\)	位移是速度-时间曲线面积。
\(a-t\)	jerk，可不常考	\(\Delta v=\int adt\)	速度变化量是加速度-时间曲线面积。
\(v-s\)	\(dv/ds\)	不能直接当位移	用 \(a=v\,dv/ds\)。

例 1.1 变加速度直线运动

仿 ch09

场景交代：把质点画在一条水平直线上，取向右为正方向。质点从原点 \(s=0\) 出发，初速度向右，题目给的是沿同一直线方向随时间变化的加速度，所以图中只需要一条 \(s\) 轴和一个运动点。

题目：质点沿直线运动，\(a(t)=6t\ \mathrm{m/s^2}\)，初始 \(v(0)=2\ \mathrm{m/s}\)，\(s(0)=0\)。求 \(t=3\,\mathrm{s}\) 时速度和位移。

变加速度示意：速度是加速度-时间曲线的积分，位移是速度-时间曲线的积分。
图中元素：横轴是时间，纵轴可理解为加速度或速度；面积的含义取决于纵轴变量，\(a-t\) 面积给速度变化，\(v-t\) 面积给位移。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

读题时先看加速度写成什么形式。这里 \(a(t)=6t\) 明确是时间函数，说明加速度会随着时间线性增大；匀加速公式只适用于 \(a\) 是常数的情况，所以不能直接把 \(t=3\) 时的 \(a=18\) 当成全程加速度。

第一步从加速度恢复速度。加速度是速度的时间导数，所以速度变化量等于加速度对时间的积分。积分变量写成 \(\xi\) 是为了避免和上限 \(t\) 混在一起，本质上就是把从 0 到当前时刻的每一小段速度增量累加起来。

v(t)=v(0)+\int_0^t 6\xi\,d\xi=2+3t^2

第二步从速度恢复位移。位移不是把末速度乘以时间，因为速度一路在变；它应该是速度-时间曲线下的面积。

s(t)=\int_0^t v(\xi)\,d\xi=\int_0^t (2+3\xi^2)\,d\xi=2t+t^3

最后代入 \(t=3\)：速度 \(v=2+3\times9=29\ \mathrm{m/s}\)，位移 \(s=2\times3+27=33\ \mathrm{m}\)。这个结果的物理意义是：因为加速度后期越来越大，位移明显大于只按初速度走 3 秒得到的 \(6\,\mathrm m\)。

易错点：变加速度题最常见错误是把瞬时 \(a(3)\) 当成常数加速度。

例 1.2 加速度是位置函数

计算

场景交代：画一条水平导轨，滑块从左端 \(s=0\) 处向右运动。加速度大小由滑块当前位置 \(s\) 决定，越往右加速度越大；题目要求的是滑块到达 \(s=2\,\mathrm m\) 这一截面时的瞬时速度。

题目：滑块沿直线从 \(s=0\) 开始，初速度 \(v_0=1\,\mathrm{m/s}\)。若 \(a=4s\ \mathrm{m/s^2}\)，求 \(s=2\,\mathrm{m}\) 时的速度。

a(s) 题型示意：用链式法则把时间消去，得到 a ds = v dv。
图中元素：水平导轨上左块是初始状态，右块是目标位置；因为加速度由位置决定，所以用 \(a\,ds=v\,dv\) 消去时间。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

这里加速度不是 \(t\) 的函数，而是位置 \(s\) 的函数。如果仍然想对时间积分，就会卡住，因为题目没有告诉我们 \(s(t)\)。这时用链式法则把 \(dt\) 消掉，得到 \(a\,ds=v\,dv\)，它直接把位置变化和速度变化联系起来。

左边从 \(s=0\) 积到 \(s=2\)，右边从初速度 \(v_0=1\) 积到未知末速度 \(v\)。上下限一定要跟物体的初末状态对应。

\int_{0}^{2}4s\,ds=\int_{1}^{v}v\,dv

8=\frac{1}{2}(v^2-1)\quad\Rightarrow\quad v^2=17

速度取正号，是因为题目描述滑块沿正方向前进。最后 \(v=\sqrt{17}=4.12\,\mathrm{m/s}\)。从数值上看，随着 \(s\) 增大，加速度也增大，所以速度比初速度 \(1\,\mathrm{m/s}\) 大很多，这是合理的。

易错点：积分上下限要和初末状态一致；右侧从 \(v_0\) 积到 \(v\)。

例 1.2b 变加速度图像面积

基础变式

场景交代：把运动画成水平直线运动，同时在旁边画 \(v-t\) 图：横轴是时间，纵轴是速度，速度曲线是一条从 \(v=2\) 开始上升的直线。要求的位移就是这条速度曲线与时间轴围成的面积。

题目：质点速度为 \(v(t)=2+3t\ \mathrm{m/s}\)，\(0\le t\le4\,\mathrm s\)。求这 4 秒内位移，并解释图像意义。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

速度给成时间函数时，位移就是速度对时间的积分，也就是 \(v-t\) 图像下方的面积。这里 \(v(t)=2+3t\) 是一条直线，所以既可以积分，也可以按梯形面积算。

\Delta s=\int_0^4(2+3t)\,dt=2t+\frac32t^2\Big|_0^4=8+24=32\,\mathrm m

用图像看也一样：初速度 \(v(0)=2\)，末速度 \(v(4)=14\)，平均速度是 \((2+14)/2=8\,\mathrm{m/s}\)，乘以时间 \(4\,\mathrm s\) 得 \(32\,\mathrm m\)。注意这里求的是速度曲线面积，不是加速度曲线面积；如果题目给 \(a-t\) 图，面积对应的是速度变化量。

易错点：\(v-t\) 图面积是位移；\(a-t\) 图面积才是速度变化量。

2. 曲线运动：直角、法切、圆柱坐标

课件 ch09、ch10 都有不同坐标系下的运动学/动力学。考试不会只考背公式，通常给路径或极坐标函数，让你选合适的坐标。英文课件里 rectangular coordinates 对应直角/矩形坐标，cylindrical coordinates 对应圆柱/极坐标。

选坐标系的标准不是哪个公式看起来熟，而是题目给的信息最自然地落在哪个坐标里。如果题目给 \(x(t),y(t)\)，直角坐标最省事，因为速度和加速度就是分别对 \(x,y\) 求导。如果题目给的是曲线轨迹、速度大小和曲率半径，法切坐标更自然，因为它把“速度大小变不变”和“方向转不转”分开。若题目给半径 \(r(t)\) 和角度 \(\theta(t)\)，圆柱坐标最合适，因为径向和切向运动本来就由这两个量描述。

直角坐标 rectangular

\mathbf v=\dot x\mathbf i+\dot y\mathbf j,\quad \mathbf a=\ddot x\mathbf i+\ddot y\mathbf j

适合 \(x(t),y(t)\) 直接给出。

法切坐标 normal-tangential

a_t=\dot v,\qquad a_n=\frac{v^2}{\rho}

适合已知轨迹曲率半径 \(\rho\)。

圆柱坐标 cylindrical

a_r=\ddot r-r\dot\theta^2,\quad a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta

适合旋转、半径变化的机构。

坐标系	ch10 动力学方程	什么时候选
直角/rectangular	\(\sum F_x=m a_x,\ \sum F_y=m a_y\)	力和运动天然沿 \(x,y\) 分解。
法切/normal-tangential	\(\sum F_t=m\dot v,\ \sum F_n=m v^2/\rho\)	已知轨迹曲率或圆周运动。
圆柱/cylindrical	\(\sum F_r=m(\ddot r-r\dot\theta^2),\ \sum F_\theta=m(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\)	半径和角度随时间变化。

圆柱坐标里最容易漏的是 \(-r\dot\theta^2\) 和 \(2\dot r\dot\theta\)。它们来自坐标轴本身在旋转：即使 \(r\) 不变，只要物体在转，径向方向也在改变，于是出现向心项；如果 \(r\) 同时变化，切向速度 \(r\dot\theta\) 的变化还会多出 \(2\dot r\dot\theta\)。这就是为什么不能简单地把 \(a_r\) 写成 \(\ddot r\)。

例 1.3 柱坐标加速度

仿 ch09/ch10

场景交代：画一个固定原点 \(O\)，点 \(P\) 在平面内绕 \(O\) 运动，同时半径 \(OP=r(t)\) 会随时间伸长。径向 \(e_r\) 沿 \(O\to P\)，切向 \(e_\theta\) 垂直于半径并沿转动正方向。

题目：点沿极坐标运动：\(r=0.5+0.1t^2\ \mathrm{m}\)，\(\theta=2t\ \mathrm{rad}\)。求 \(t=1\,\mathrm{s}\) 时 \(v_r,v_\theta,a_r,a_\theta\)。

圆柱坐标示意：固定点 \(O\) 是极坐标原点，绿色线段 \(OP\) 表示半径 \(r\)，运动点 \(P\) 位于半径末端；蓝色 \(e_r\) 从 \(P\) 沿半径向外，橙色 \(e_\theta\) 从 \(P\) 沿切向、也就是半径逆时针转 \(90^\circ\) 的方向。绿色弧线只表示角度 \(\theta\)，不参与长度计算。
图中元素：中心点是极坐标原点，绿色半径箭头是 \(e_r\) 方向，橙色箭头是 \(e_\theta\) 切向方向；点在运动时，这两个单位方向会随 \(\theta\) 一起转动。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

这道题给的是 \(r(t)\) 和 \(\theta(t)\)，所以不需要先转成 \(x,y\)。先把半径和角度分别求一阶、二阶导，因为圆柱坐标公式需要 \(\dot r,\ddot r,\dot\theta,\ddot\theta\)。

\dot r=0.2t,\quad \ddot r=0.2,\quad \dot\theta=2,\quad \ddot\theta=0

\(t=1\) 时 \(r=0.6,\dot r=0.2\)。速度的径向分量就是半径增长速度 \(\dot r\)，切向分量是半径乘角速度 \(r\dot\theta\)，因为同样的角速度在更大的半径上对应更大的线速度。

v_r=\dot r=0.2,\qquad v_\theta=r\dot\theta=0.6\times2=1.2\ \mathrm{m/s}

加速度要小心。径向加速度不是只看 \(\ddot r\)，还要减去向心项 \(r\dot\theta^2\)。这里负号表示加速度指向半径减小的方向，也就是朝向旋转中心。

a_r=\ddot r-r\dot\theta^2=0.2-0.6(4)=-2.2\ \mathrm{m/s^2}

切向加速度由两部分组成：角加速度带来的 \(r\ddot\theta\)，以及半径变化时切向速度随半径变化带来的 \(2\dot r\dot\theta\)。本题角速度恒定，所以第一项为零，但第二项不为零。

a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta=0+2(0.2)(2)=0.8\ \mathrm{m/s^2}

易错点：柱坐标的 \(a_r\) 不是 \(\ddot r\)，还有向心项 \(-r\dot\theta^2\)。

3. 抛体、相关运动与相对运动

ch09 后半部分有抛体运动、绳索约束的相关运动、移动坐标系下的相对运动。这些虽然看起来不像机器人，但会训练你处理“一个运动由多个运动叠加而成”的题。

抛体运动的关键是把二维运动拆成两个互不干扰的一维运动：水平方向没有加速度，竖直方向有重力加速度。相关运动的关键是约束，例如绳长不变、杆长不变、滑轮几何关系不变；先写出长度方程，再求导，速度关系自然出现。相对运动则是在说同一个速度可以拆成“参考系本身的速度”和“相对参考系的速度”，这和机器人末端相对移动基座的运动分析是同一类思维。

抛体运动

x=x_0+v_{0x}t,\qquad y=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2

水平和竖直方向分开算。

相对运动

移动坐标系中常用矢量叠加。

\mathbf v_A=\mathbf v_B+\mathbf v_{A/B}

例 1.4 抛体运动基本题

仿 ch09

场景交代：把质点从水平地面上一点斜向右上方抛出，初速度与水平线夹角为 \(30^\circ\)。忽略空气阻力后，水平方向不受力，竖直方向只受重力；落回同一高度指回到出发点所在水平线。

题目：质点以 \(v_0=20\,\mathrm{m/s}\)、仰角 \(30^\circ\) 抛出，忽略空气阻力。求飞行到同一高度时的水平射程。

抛体运动示意：水平匀速，竖直方向受重力加速度影响。
图中元素：图中灰色水平线是出发和落回的同一高度；橙色箭头是初速度，蓝色/绿色箭头是它分解出的水平和竖直分量；红色箭头表示重力加速度始终竖直向下。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

抛体题第一步永远是分解初速度，因为重力只影响竖直方向。水平速度决定走多远，竖直速度决定在空中待多久。

v_{0x}=20\cos30^\circ=17.32,\qquad v_{0y}=20\sin30^\circ=10

题目问“回到同一高度”，所以竖直位移为 0。竖直方向方程中有两个解：\(t=0\) 表示刚抛出的瞬间，不是落回来的时刻；另一个非零解才是飞行时间。

t=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{20}{9.8}=2.04\,\mathrm{s}

有了飞行时间，再用水平匀速运动求射程。这里水平速度一直保持 \(17.32\,\mathrm{m/s}\)，所以水平距离等于水平速度乘时间。

R=v_{0x}t=17.32\times2.04=35.3\,\mathrm{m}

易错点：竖直方向有重力加速度，水平方向无加速度。

例 1.5 绳索相关运动

仿 ch09

场景交代：画一个不可伸长的轻绳滑轮系统：左上方有一个固定绳端，右上方有一个固定在横梁上的定滑轮，下方有一个动滑轮，动滑轮下端用短连接件和物块 B 刚性相连，所以动滑轮与 B 一起上下运动。绳子从左上固定端竖直向下绕过动滑轮，再从动滑轮右侧竖直向上接触定滑轮左侧，绕过定滑轮上半周后从右侧竖直垂下成为自由端 A；绳子只在滑轮圆周上转向，不在空中折弯。绳总长固定，A 端只改变一段自由端绳长 \(s_A\)，B 与动滑轮移动时会同时改变动滑轮左右两段支撑绳长，所以长度约束写成 \(L=s_A+2s_B+\text{常数}\)。

题目：某滑轮系统长度约束为 \(L=s_A+2s_B+\text{常数}\)。若 A 端向下速度 \(v_A=0.6\,\mathrm{m/s}\)，求 B 的速度大小。

绳长约束示意：这是一根不可伸长绳，左上端固定，绳子先向下绕过与 B 刚性相连的动滑轮，再竖直向上接触右上方定滑轮，绕过定滑轮后垂下成为自由端 A。
图中元素：绳子只在动滑轮和定滑轮圆周上改变方向；灰色横梁、左上固定端和右上定滑轮都不动；下方蓝色动滑轮和 B 块一起上下移动。动滑轮左右两段竖直绳长都随 B 的位移改变，所以变量绳长为 \(s_A+2s_B\)。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

绳索题不要先凭直觉猜速度比例，而要先写长度约束。式子 \(L=s_A+2s_B+\text{常数}\) 的意思是：A 端移动一段会改变一段绳长，B 滑轮移动一段会改变两段绳长。由于总绳长 \(L\) 不变，对时间求导后左边就是 0。

$$0=v_A+2v_B$$

这里 \(v_A\) 和 \(v_B\) 的符号取决于我们给 \(s_A,s_B\) 规定的正方向。题目说 A 端向下速度为正 \(0.6\)，代入方程后得到 B 的速度：

v_B=-\frac{v_A}{2}=-0.3\,\mathrm{m/s}

负号表示 B 与 A 的正方向相反，速度大小为 \(0.3\,\mathrm{m/s}\)。

易错点：先规定正方向；最后解释负号，不要直接丢掉。

4. 结构分析：桁架、零力杆、截面法

ch06 是 Structural Analysis，主要是静力学训练。若老师把这部分纳入考试，常见题是判断零力杆、用节点法或截面法求杆件内力。它和机器人静力学的共同点是：都从平衡方程出发。

\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0

这组三个平衡方程的意思是：结构静止时，不能有合力让它平动，也不能有合力矩让它转动。桁架题常把每根杆当作二力杆处理，杆件内力只沿杆轴方向；而框架和机器里的构件可能同时受多个外力、销钉力和力矩，不能直接把所有力都假设沿杆轴。节点法适合从一个节点开始逐步解未知杆力，截面法适合只想求某几根杆时把结构“切开”看整体平衡。

方法	适用场景	解题模板
节点法	要求多个相邻杆力	从未知数不超过 2 个的节点开始，列 \(\sum F_x=0,\sum F_y=0\)。
零力杆判断	快速简化桁架	无外力节点上两根非共线杆均为零力杆；三杆中两根共线且无外力，第三根为零力杆。
截面法	只求少数目标杆力	切过目标杆，取一侧整体列平衡，常用力矩方程消元。
框架与机器 frames/machines	多力构件、销钉连接、机器受力	先画每个构件受力图，再对每个刚体列 \(\sum F_x=0,\sum F_y=0,\sum M=0\)。

考

桁架杆通常按二力杆处理；框架/机器里的构件常是多力构件，不能直接假设杆力沿两端连线。

例 1.6 零力杆判断

仿 ch06

场景交代：画一个桁架节点，只有两根杆在该节点相交，且两根杆方向不共线。节点上没有外力、没有支座反力，也没有其他构件连接；杆件只能沿自身轴线拉或压。

题目：某节点只有两根不共线杆件相连，且节点上无外力、无支座反力。判断两杆内力。

零力杆判断示意：无外力节点只有两根不共线杆时，两杆内力只能同时为零。
图中元素：中间白色圆圈是桁架节点，两根彩色杆都只能沿自身轴线拉/压；节点没有外力或支座反力时，两根非共线杆无法互相抵消非零力。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

判断零力杆不是靠看杆短不短，而是靠节点平衡。这个节点没有外力，也没有支座反力，只有两根不共线杆把力传进来。静力平衡要求这个节点的合力为零。

如果其中一根杆有非零轴力，它的方向沿着这根杆；另一根杆因为不共线，方向不同，无法只靠一个力把它完全抵消。要让 \(x\) 和 \(y\) 方向都平衡，唯一可能就是两根杆力都为零。

F_1=0,\qquad F_2=0

两杆都是零力杆。

易错点：零力杆判断前必须确认该节点没有外力或支座反力。

5. 动力学：受力方程和能量方程

牛顿第二定律

适合要求力、加速度、约束反力的题。

\sum \mathbf F=m\mathbf a

功与能

适合已知位移、弹簧、重力、高度变化，要求速度的题。

T_1+\sum U_{1\to2}=T_2

质点系与质心

ch10 的 center of mass / centroid 常用于把一组质点等效成整体。

\bar x=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i},\qquad \bar y=\frac{\sum m_iy_i}{\sum m_i}

质点系运动方程

外力和质心加速度相关，内力在整体方程中相互抵消。

\sum \mathbf F_{ext}=m\mathbf a_G

牛顿第二定律适合“力导致加速度”的题，尤其是要求约束反力、绳张力、摩擦力的时候。能量法适合不关心过程中的加速度，只关心两个位置之间速度变化的题，因为功直接对应动能变化。质心公式则是在把多个质点压缩成一个等效点：它不是几何平均，而是质量加权平均，质量大的点对质心位置影响更大。对整个质点系列方程时，内部相互作用力成对出现并抵消，所以整体运动只由外力决定。

质量、重量与万有引力

ch10 把 mass and weight 单独列出。质量 \(m\) 是惯性大小，单位 kg；重量 \(W\) 是重力，单位 N。

W=mg,\qquad F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

地球表面工程题通常直接用 \(W=mg\)。万有引力公式用于强调重力本质上是中心力，方向沿两物体连线。

保守力与非保守力

重力和理想弹簧力是保守力，做功只与初末位置有关；摩擦力是非保守力，做功依赖路径并耗散机械能。

T_1+V_1+U_{nc}=T_2+V_2

如果只有保守力做功，就退化为机械能守恒 \(T_1+V_1=T_2+V_2\)。

势能 \(V\) 是把保守力做功“存起来”的写法。重力势能常写 \(V_g=mgh\)，弹簧势能常写 \(V_s=\frac12kx^2\)。摩擦做功不能写进势能，因为同样初末点走不同路径，摩擦消耗的能量不同；所以有摩擦时要把它作为 \(U_{nc}\) 加到功-能方程里，符号通常为负。

例 1.7 斜面动力学

仿 ch10

场景交代：画一个光滑固定斜面，斜面与水平地面夹角为 \(30^\circ\)。物块放在斜面上，只能沿斜面方向滑动；重力竖直向下，法向力垂直斜面，斜面方向无摩擦力。

题目：质量 \(m=5\,\mathrm{kg}\) 的物块在 \(30^\circ\) 光滑斜面上下滑。求沿斜面加速度。

光滑斜面受力示意：物块只能沿斜面滑动，沿斜面方向的加速度由重力分量 \(mg\sin\theta\) 决定。
图中元素：绿色三角形是固定光滑斜面，蓝色块是物体，红色箭头是竖直向下的重力 \(mg\)，蓝色箭头是垂直斜面的法向力 \(N\)，绿色箭头是沿斜面向下的重力分量；题目说明光滑，所以没有摩擦力。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

先选坐标轴。对斜面问题，最方便的坐标轴不是水平竖直，而是沿斜面和垂直斜面。因为物块只能沿斜面滑动，垂直斜面方向没有加速度；沿斜面方向才是我们要找的运动方向。

重力 \(mg\) 分解到沿斜面方向得到 \(mg\sin30^\circ\)，它就是让物块下滑的分力。斜面光滑，所以没有摩擦力。沿斜面列牛顿第二定律：

\sum F_t=mg\sin30^\circ=ma

a=g\sin30^\circ=9.8\times0.5=4.9\,\mathrm{m/s^2}

方向沿斜面向下。

易错点：不要把法向力 \(N\) 加到沿斜面方向；它垂直斜面。

例 1.8 功能法求速度

仿 ch12

场景交代：画一条无摩擦轨道或斜面，物体从高处由静止释放，底部作为零势能位置。题目只关心从高处到低处的初末状态，不要求中间轨迹形状。

题目：质量 \(m=2\,\mathrm{kg}\) 的物体从高度 \(h=1.5\,\mathrm{m}\) 处由静止下滑，忽略摩擦，求到底部速度。

功能法求速度示意：无摩擦时只比较初末状态，重力势能减少量全部变成底部动能。
图中元素：左上方蓝色物块从高度 \(h\) 处由静止释放，绿色光滑轨道连接到右下方底部，底部水平线取为零势能；橙色高度标尺表示 \(h\)，右侧公式表示 \(mgh=\frac12mv^2\)，不需要画摩擦力。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

这题没有问下滑过程中的受力变化，只问底部速度，所以能量法最短。忽略摩擦意味着机械能守恒，物体损失的重力势能全部变成动能。

初态由静止开始，初动能为 0；末态在底部，速度为 \(v\)。把高度差 \(h\) 对应的势能 \(mgh\) 等于末动能：

mgh=\frac{1}{2}mv^2

v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9.8\times1.5}=5.42\,\mathrm{m/s}

质量 \(m\) 被约掉，说明在无摩擦、同一高度差下，重物和轻物到底部速度相同。

易错点：质量会约掉；如果有摩擦，则摩擦做负功。

例 1.8b 非保守力做功

能量进阶

场景交代：画一个物体沿粗糙轨道从高度 \(h\) 下滑到底部。重力做正功，摩擦力沿运动反方向并在整个路径上做负功；底部取为重力势能零点。

题目：质量 \(m=2\,\mathrm{kg}\) 的物体从高度 \(h=1.5\,\mathrm m\) 处由静止下滑，摩擦力总共做功 \(-6\,\mathrm J\)。求到底部速度。

保守力与非保守力示意：重力和弹簧可写势能，摩擦必须作为路径相关做功处理。
图中元素：曲线是运动路径，重力可通过高度差写成势能变化，摩擦沿路径反向做功，必须作为非保守功单独扣除。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

有摩擦时不能再直接说机械能守恒，因为摩擦是非保守力，它会把一部分机械能耗散掉。功-能方程可以写成：初始重力势能加上非保守力做功，等于末动能。

mgh+U_{nc}=\frac12mv^2

代入 \(m=2\)、\(h=1.5\)、\(U_{nc}=-6\)。重力释放的能量是 \(2\times9.8\times1.5=29.4\,\mathrm J\)，摩擦拿走 \(6\,\mathrm J\)，所以剩下 \(23.4\,\mathrm J\) 变成动能。

\frac12(2)v^2=23.4\Rightarrow v=\sqrt{23.4}=4.84\,\mathrm{m/s}

这个速度比无摩擦时的 \(5.42\,\mathrm{m/s}\) 小，方向也符合物理直觉：非保守力做负功会降低末端动能。

易错点：有摩擦时把 \(U_{nc}\) 单独写进能量方程，通常为负。

6. 冲量、动量、碰撞和角动量

冲量动量题常出现在碰撞、短时大力、速度突变问题中。医用机器人接触人体时，也常用它理解“同样动量变化，作用时间越长平均力越小”。

\mathbf J=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf F\,dt=m\mathbf v_2-m\mathbf v_1

\mathbf H_O=\mathbf r\times m\mathbf v,\qquad \sum \mathbf M_O=\dot{\mathbf H}_O

冲量公式来自牛顿第二定律的积分形式。因为 \(\sum F=ma=m\,dv/dt\)，两边对时间积分，就得到力对时间的累积等于动量变化。碰撞时间很短时，很多普通力的冲量可以忽略，但接触冲量不能忽略。角动量则是动量对某一点的“转动效果”，如果关于该点的外力矩冲量为零，角动量就守恒。

例 1.9 线冲量

仿 ch12

场景交代：画一个小滑块在水平光滑轨道上向右运动，外力沿轨道方向作用在滑块上，力的大小随时间线性增加。冲量对应力-时间图像从 \(0\) 到 \(0.5\,\mathrm s\) 的面积。

题目：质量 \(m=0.8\,\mathrm{kg}\) 的滑块初速度 \(1\,\mathrm{m/s}\)。受到 \(F(t)=20t\) N 的水平力，作用 \(0\le t\le0.5\) s。求末速度。

冲量示意：力-时间图像下的面积等于动量变化。
图中元素：横轴是时间，纵轴是外力；绿色阴影面积就是冲量 \(J\)，它等于物体动量变化，而不是瞬时力大小。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

题目给的是随时间变化的力 \(F(t)\)，所以不能简单用 \(F\Delta t\)，而要算力-时间图像的面积。这个面积就是冲量。

J=\int_0^{0.5}20t\,dt=10t^2\big|_0^{0.5}=2.5\,\mathrm{N\,s}

冲量等于动量变化。物体质量不变，所以动量变化可以写成 \(m(v_2-v_1)\)。

J=m(v_2-v_1)\Rightarrow 2.5=0.8(v_2-1)

解得 \(v_2=4.125\,\mathrm{m/s}\)。结果大于初速度，方向仍为正，说明这段力在推动滑块加速。

易错点：冲量单位是 N·s，不是 N；它等于动量变化。

动量守恒

m_Av_{A1}+m_Bv_{B1}=m_Av_{A2}+m_Bv_{B2}

系统外冲量可忽略时使用。

恢复系数

e=\frac{v_{B2}-v_{A2}}{v_{A1}-v_{B1}}

一维正碰中，配合动量守恒求碰后速度。

例 1.10 正碰与恢复系数

仿 ch12

场景交代：画两个小球 A、B 在同一条水平直线上运动，A 从左向右撞向静止的 B。碰撞很短，外力冲量忽略；碰后两球仍沿同一直线分离或反弹。

题目：两小球沿一直线碰撞，\(m_A=1\,\mathrm{kg}\)、\(m_B=2\,\mathrm{kg}\)，碰前 \(v_{A1}=6\,\mathrm{m/s}\)、\(v_{B1}=0\)。若恢复系数 \(e=0.5\)，求碰后速度。

一维碰撞示意：动量守恒配合恢复系数求碰后速度。
图中元素：两个圆分别是小球 A、B，灰线表示它们只能沿同一直线运动；碰前碰后的速度都沿这条线标注，动量守恒和恢复系数都只在该方向使用。

建模顺序：

先画受力或运动示意，标出固定端、运动方向、坐标正方向和已知量。
判断适合用求导/积分、牛顿方程、能量法、冲量动量法还是几何约束。
把每个量的单位统一后再代入，避免把瞬时量当全过程常量。
最后用图解释结果是否合理，例如速度方向、力方向或能量减少。

解析过程

碰撞题通常需要两个方程。第一个方程是系统在碰撞方向上的动量守恒，因为碰撞时间短，外部冲量可以近似忽略。碰前总动量是 \(1\times6+2\times0=6\)。

1(6)+2(0)=v_{A2}+2v_{B2}

第二个方程来自恢复系数。恢复系数描述碰后分离速度相对于碰前接近速度的比例；\(e=0.5\) 表示碰撞损失了一部分相对运动能量，不是完全弹性碰撞。

0.5=\frac{v_{B2}-v_{A2}}{6-0}\Rightarrow v_{B2}-v_{A2}=3

联立两个方程得 \(v_{A2}=0,\ v_{B2}=3\,\mathrm{m/s}\)。这个结果表示 A 球碰后停下，B 球被撞向正方向运动，动量仍然守恒。

易错点：恢复系数公式分子是分离速度，分母是接近速度。

\mathbf H_O=\mathbf r\times m\mathbf v,\qquad \int_{t_1}^{t_2}\sum \mathbf M_O\,dt=\Delta \mathbf H_O

角冲量-角动量题常围绕定点转动、绳子突然拉紧、质点绕点运动展开。若关于点 \(O\) 的外力矩冲量为零，则 \(H_O\) 守恒。

概念题与计算题自测

概念 1

场景交代：把物体画成沿水平直线运动，先判断加速度在整个过程中是否恒定；若加速度随时间或位置变化，就必须回到导数和积分关系。

什么时候不能使用匀加速直线运动公式？

匀加速公式适用条件示意：只有加速度为常数时才能直接使用四个匀加速公式。
图中元素：左侧水平线表示恒定加速度 \(a=\text{constant}\)，右侧曲线表示随时间变化的加速度；变加速度题应对 \(a(t)\) 或 \(v(t)\) 积分。

查看答案与解析

当加速度不是常数时不能直接使用。匀加速公式默认整个过程中 \(a\) 不变，所以它本质上只适合 \(a=\text{constant}\) 的情形。如果题目写的是 \(a=6t\)，加速度随时间变；如果写的是 \(a=4s\)，加速度随位置变；这两种都要从导数关系出发积分，不能把某个瞬时加速度拿来代替全过程。

计算 1

场景交代：画一条水平直线表示物体运动方向，再在旁边画 \(v-t\) 图：横轴为时间 \(t\)，纵轴为速度 \(v(t)\)。本题给 \(v=3t^2\)，所以位移不是用匀加速公式，而是取 \(t=0\) 到 \(t=2\) 下速度曲线与时间轴围成的面积。

物体速度 \(v=3t^2\ \mathrm{m/s}\)，求 \(0\) 到 \(2\) 秒位移。

查看答案与解析

速度是位移对时间的导数，所以位移变化等于速度对时间的积分。这里速度随时间增大，不能只用末速度乘时间。

s=\int_0^2 3t^2dt=t^3\big|_0^2=8\,\mathrm{m}

结果 \(8\,\mathrm m\) 是速度-时间曲线从 0 到 2 秒的面积。

计算 2

场景交代：画圆弧轨道和曲率中心，质点位于圆弧上；速度沿切线方向，法向加速度指向曲率中心，大小由 \(a_n=v^2/\rho\) 给出。

质点以 \(v=4\,\mathrm{m/s}\) 沿半径 \(\rho=2\,\mathrm m\) 的曲线运动，求法向加速度。

法向加速度示意：速度沿切线，法向加速度指向曲率中心。
图中元素：曲线是轨迹，橙色箭头沿切线表示速度方向，蓝色箭头指向曲率中心表示法向加速度。

查看答案与解析

法向加速度描述速度方向改变的快慢，不描述速度大小改变的快慢。曲率半径越小、速度越大，转弯越急，法向加速度越大。

a_n=\frac{v^2}{\rho}=\frac{16}{2}=8\,\mathrm{m/s^2}

本章掌握度

我能根据 \(a(t)\)、\(a(s)\)、\(v(t)\) 选择正确积分关系。我能计算矩形、法切、柱坐标下的速度和加速度。我能用牛顿第二定律列受力方程。我能用功能法和冲量动量法解决基础计算题。