综合 C1：从运动学到静力映射
综合场景交代：画 2R 平面机械臂，基座固定在原点，第一杆水平向右，第二杆竖直向上。外力作用在末端点，方向由向量 \(F=[5,-10]^T\) 给出，要求从几何位置一直算到关节平衡力矩。
题目：2R 机械臂 \(l_1=l_2=1\)，当前 \(q_1=0^\circ,q_2=90^\circ\)。末端受到 \(F=[5,-10]^T\,\mathrm N\)。求末端位置、Jacobian 和关节力矩。
图中元素：第一杆水平、第二杆竖直，末端位置为 \((1,1)\)；红色箭头表示末端外力 \(F=[5,-10]^T\)。右侧流程框写出 \(J=\begin{bmatrix}-1&-1\\1&0\end{bmatrix}\)，再计算 \(\tau=J^TF=[-15,-5]^T\)。
建模顺序：
- 先画固定基座、活动关节和连杆，标清每个角度是相对哪个坐标轴或哪根杆量的。
- 写出几何关系或矩阵关系，再代入长度、角度、目标点或外力。
- 若是 Jacobian 题，速度用 \(J\dot q\)，末端力映射用 \(J^TF\)。
- 最后说明多解、无解、奇异或力矩正负号代表什么。
解析过程
综合题要按链条做：先从关节角算末端位置，再在这个姿态下算 Jacobian，最后用 \(J^TF\) 做静力映射。当前 \(q_1=0^\circ,q_2=90^\circ\)，第一根杆沿 \(x\) 轴，第二根杆竖直向上，所以末端位置是：
$$x=1,\quad y=1$$
在同一姿态下代入 2R Jacobian，可得：
$$J=\begin{bmatrix}-1&-1\\1&0\end{bmatrix}$$
末端力 \(F=[5,-10]^T\) 会通过机构几何映射成关节力矩。根据虚功原理使用 \(J^T\)，而不是 \(J\)：
$$\tau=J^TF=\begin{bmatrix}-1&1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\-10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-15\\-5\end{bmatrix}\,\mathrm{N\,m}$$
负号表示所需关节力矩方向与我们定义的关节正方向相反。这个结果不是错误，而是方向信息。
易错点：综合题常把正运动学和 \(J^TF\) 连在一起考。