Chapter 3 · Robot Dynamics
机器人动力学：从力矩到运动的计算框架
动力学题的核心是 \(M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+g(q)=\tau\)。考试可能让你解释各项，也可能给简化模型让你算力矩、加速度、重力补偿或用拉格朗日法推单连杆方程。
静力映射拉格朗日逆动力学Newton-Euler
动力学计算就是算清楚机器人运动需要支付哪些力矩。
1. 机构、执行器与感知：Chapter 5 覆盖
当前课程并不只考公式，也可能考机器人硬件组成。Chapter 5 的主线是：机器人机构 = 连杆/关节 + 执行器 + 传动 + 状态传感器；控制效果受硬件限制影响。
理解这一章时不要把硬件当成和控制无关的“背诵题”。串联机器人、并联机器人、不同执行器和传感器会直接影响控制模型能不能准确、力矩能不能足够、反馈信号是否可靠。比如同样的 PID 控制器，用在刚度高的并联机构和柔顺的气动机构上，调参和性能会完全不同；传感器噪声越大，控制器里微分项或力反馈越容易被放大。因此硬件知识的考试答法，最好总是落到“它会怎样影响运动精度、力输出、安全性和控制难度”。
| 知识点 | 课件内容 | 考试答法 |
|---|
| 串联机器人 | 从基座到末端一节接一节 | 工作空间大，正运动学直观；刚度较低，误差会累积。 |
| 并联机器人 | 多条支链共同支撑末端平台 | 刚度高、承载好；工作空间小，奇异和正运动学复杂。 |
| 电磁执行器 | 有刷/无刷电机 | 控制方便、响应快；无刷电机依赖电子换向。 |
| 液压/气动 | 液压力大，气动柔顺 | 液压高功率密度但系统复杂；气动安全柔顺但精度较难。 |
| 关节轴结构 | 转动关节/移动关节承担约束与运动方向 | 转动关节输出力矩、移动关节输出直线力；机构刚度影响定位和接触稳定性。 |
| 传动 transmission | 齿轮、丝杠、皮带等把执行器运动传到关节 | 能放大力矩或改变速度，但会引入摩擦、背隙、弹性和效率损失。 |
| 感知与融合 | 传感器有噪声、精度和视角限制 | 单传感器不够可靠，常融合不同来源/时间/位置的数据。 |
2. 主方程和物理意义
$$M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+g(q)=\tau$$
这个方程可以读成一句话：为了让机器人以当前姿态 \(q\)、速度 \(\dot q\)、加速度 \(\ddot q\) 运动，电机必须提供足够的关节力矩 \(\tau\)，用来支付惯性、速度耦合和重力这三笔账。\(M(q)\ddot q\) 像“推动车变加速”需要的力，\(C(q,\dot q)\dot q\) 来自多关节运动时的互相带动和离心/科氏效应，\(g(q)\) 则是即使不动也要抵抗重力的力矩。姿态不同，重力力臂和惯量分布都会变，所以这些项通常依赖 \(q\)。
| 项 | 考试怎么问 | 答题要点 |
|---|
| \(M(q)\ddot q\) | 给加速度求力矩 | 惯性项，\(M\) 对称正定，构型相关。 |
| \(C(q,\dot q)\dot q\) | 问高速运动为什么耦合明显 | 科氏/离心等速度相关项，低速时常可近似忽略。 |
| \(g(q)\) | 问静止为什么还要力矩 | 重力补偿，取决于姿态。 |
| \(\tau\) | 控制器输出什么 | 关节力矩或等效驱动力。 |
例 3.1 简化二自由度逆动力学
计算
场景交代：把系统看作两个串联转动关节组成的机器人，两个关节都已有规划好的角加速度。矩阵 \(M\) 描述两关节惯性耦合，\(C\dot q\) 是速度相关力矩，\(g\) 是重力补偿力矩。
题目：某 2 关节机器人在某姿态下 \(M=\left[\begin{smallmatrix}2&0.5\\0.5&1\end{smallmatrix}\right]\)，\(C\dot q=[0.2,-0.1]^T\)，\(g=[3,1]^T\)。若期望 \(\ddot q=[1,2]^T\)，求所需力矩。
二自由度逆动力学代入示意：给定期望加速度时，先算惯性项 \(M\ddot q\)，再把速度相关项 \(C\dot q\) 和重力项 \(g\) 按同一关节正方向相加。
图中元素：左侧是题目给出的 \(\ddot q=[1,2]^T\)，中间矩阵 \(M\) 乘以加速度得到 \(M\ddot q=[3,2.5]^T\)；下方两个小框分别是 \(C\dot q=[0.2,-0.1]^T\) 和 \(g=[3,1]^T\)，最后在求和点得到 \(\tau=[6.2,3.4]^T\)。
建模顺序：- 先画关节、连杆、质心、重力方向和输入力矩方向。
- 判断题目类型：给运动求力矩是逆动力学，给力矩求加速度是正动力学。
- 把每一项对应到物理量：惯性、速度相关项、重力、外力或广义力。
- 计算后解释符号方向，尤其是负力矩或负广义力。
解析过程
题目要的是逆动力学：已知希望机器人产生的加速度，反过来求需要的关节力矩。第一步先算惯性项 \(M\ddot q\)。矩阵中的非对角元素 \(0.5\) 表示两个关节加速度之间存在耦合，所以不能只把 \(2\) 乘第一个加速度、\(1\) 乘第二个加速度。
$$M\ddot q=\begin{bmatrix}2&0.5\\0.5&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2.5\end{bmatrix}$$
第二步把速度相关项和重力项加上。题目已经直接给出 \(C\dot q\)，说明不需要再展开 \(C\) 矩阵，只要按向量相加即可。
$$\tau=M\ddot q+C\dot q+g=\begin{bmatrix}3\\2.5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0.2\\-0.1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6.2\\3.4\end{bmatrix}\,\mathrm{N\,m}$$
易错点：矩阵乘法别按元素相乘；\(C\dot q\) 题目若已给出，就直接作为向量相加。
例 3.1b 单关节逆动力学分项代入
基础变式
场景交代：画一个单转动关节带动连杆运动，关节轴固定在基座上。题目已经把惯性、速度相关项和重力项等效到这个关节上，只需要按同一关节正方向相加。
题目：某单关节在当前姿态下 \(M=3\)，速度相关项 \(C\dot q=0.4\)，重力项 \(g=2\)。若期望 \(\ddot q=1.5\,\mathrm{rad/s^2}\)，求所需力矩。
单关节逆动力学分项示意：题目已经把所有量等效到同一个关节正方向上，所以总力矩就是惯性项、速度相关项和重力项相加。
图中元素：左侧转动关节表示被控关节；右侧三个框分别写出 \(M\ddot q=3\times1.5=4.5\)、\(C\dot q=0.4\)、\(g=2\)，三项进入求和点后得到 \(\tau=6.9\,\mathrm{N\,m}\)。
建模顺序：- 先画关节、连杆、质心、重力方向和输入力矩方向。
- 判断题目类型：给运动求力矩是逆动力学，给力矩求加速度是正动力学。
- 把每一项对应到物理量：惯性、速度相关项、重力、外力或广义力。
- 计算后解释符号方向，尤其是负力矩或负广义力。
解析过程
这道题故意把动力学三项拆开给出，是为了训练你看懂公式每一项在做什么。逆动力学就是把期望加速度代入 \(M\ddot q+C\dot q+g\)，求电机要给多少力矩。
$$M\ddot q=3\times1.5=4.5$$
惯性项 \(4.5\) 是为了产生加速度；\(C\dot q=0.4\) 是速度相关项；\(g=2\) 是重力补偿项。三项相加：
$$\tau=4.5+0.4+2=6.9\,\mathrm{N\,m}$$
如果当前速度很低，\(C\dot q\) 可能很小；如果姿态让重力力臂很大，\(g\) 会成为主要负担。这个题的重点不是算术，而是把三项的物理含义分清。
易错点：逆动力学：给运动求力矩；正动力学：给力矩求加速度。
3. 静力学和重力补偿
机器人不动时 \(\dot q=\ddot q=0\)，动力学方程变成：
$$\tau=g(q)$$
如果还有末端外力，则需要加上 \(J^TF\)。
$$\tau=g(q)+J^TF$$
“静止”不等于“力矩为零”。静止只说明加速度和速度项为零，惯性项和速度耦合项消失；但重力仍然在拉连杆，外部接触力也仍然可能对关节产生力矩。重力补偿的目的就是在控制器里提前给出 \(g(q)\)，让电机先把机器人“托住”，这样位置控制器不用靠长期误差硬顶重力，稳态误差会小很多。
例 3.2 单连杆水平保持
重力补偿
场景交代：画一根均匀刚性连杆，左端通过转动关节固定在墙或机架上，杆水平伸向右方。重力作用在杆的质心，也就是杆中点，方向竖直向下；关节力矩用来阻止杆下落。
题目：一根均匀连杆质量 \(m=2\,\mathrm{kg}\)，长度 \(L=0.6\,\mathrm m\)，绕一端转动。水平保持不动时需要多大关节力矩？
均匀杆水平保持示意：连杆水平伸出时，重力作用在杆中点并对左端转轴产生下转力矩。
图中元素：左侧灰色墙/基座固定转动关节，绿色均匀杆水平向右，蓝色点是质心 \(G\) 位于 \(L/2\) 处；红色箭头是 \(mg\)，橙色弧箭头是关节必须提供的平衡力矩。
建模顺序：- 先画关节、连杆、质心、重力方向和输入力矩方向。
- 判断题目类型：给运动求力矩是逆动力学，给力矩求加速度是正动力学。
- 把每一项对应到物理量：惯性、速度相关项、重力、外力或广义力。
- 计算后解释符号方向，尤其是负力矩或负广义力。
解析过程
均匀连杆的重力可以等效作用在质心，质心位于杆长中点 \(L/2\)。关节要提供的力矩等于重力乘以到转轴的垂直力臂。连杆水平时，重力竖直向下，质心到转轴的水平距离正好是最大垂直力臂。
$$\tau=mg\frac{L}{2}=2\times9.8\times0.3=5.88\,\mathrm{N\,m}$$
这个力矩的方向要和重力造成的转动趋势相反。数值 \(5.88\,\mathrm{N\,m}\) 表示电机至少要提供这么大的保持力矩，连杆才不会往下掉。
易错点：不要用整根杆长 \(L\) 当质心力臂；均匀杆质心在 \(L/2\)。
例 3.2b 末端力静力映射
静力进阶
场景交代：画一个静止的 2R 机械臂，基座和两个转动关节都不运动。末端受到给定平面外力，同时各关节还要补偿重力；静态平衡时关节力矩由重力项和末端外力映射共同决定。
题目：某 2R 机械臂当前 \(J=\begin{bmatrix}-1&-1\\1&0\end{bmatrix}\)，重力补偿项 \(g=[2,1]^T\)。若末端外力 \(F=[4,-6]^T\,\mathrm N\)，求静态平衡所需关节力矩。
含重力补偿的静力映射示意：静态平衡所需关节力矩由两部分组成，一部分是末端外力通过 \(J^T\) 映射来的力矩，另一部分是机器人自身重力补偿 \(g\)。
图中元素：左侧 2R 机械臂末端受到红色外力 \(F=[4,-6]^T\)；中间蓝色框计算 \(J^TF=[-10,-4]^T\)，下方黄色框是 \(g=[2,1]^T\)，两者在求和点相加得到 \(\tau=[-8,-3]^T\)。
建模顺序：- 先画固定基座、活动关节和连杆，标清每个角度是相对哪个坐标轴或哪根杆量的。
- 写出几何关系或矩阵关系，再代入长度、角度、目标点或外力。
- 若是 Jacobian 题，速度用 \(J\dot q\)，末端力映射用 \(J^TF\)。
- 最后说明多解、无解、奇异或力矩正负号代表什么。
解析过程
静态时速度和加速度为零，但关节仍要平衡重力和末端外力。末端外力映射到关节空间用 \(J^T F\)，然后再加重力补偿 \(g(q)\)。
$$J^TF=\begin{bmatrix}-1&1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-10\\-4\end{bmatrix}$$
$$\tau=g+J^TF=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-10\\-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}\,\mathrm{N\,m}$$
这里的负号表示所需力矩方向与我们定义的关节正方向相反。它不是“力矩大小不能为负”，而是方向信息。
易错点：有末端外力时静态公式是 \(\tau=g+J^TF\)，不要漏掉转置。
4. 广义坐标、广义力与拉格朗日法
Chapter3 先引入 generalized coordinates 和 generalized forces。广义坐标是能唯一描述系统构型的一组独立变量；机器人里通常就是关节变量 \(q=[q_1,\dots,q_n]^T\)。广义力则是与这些变量做虚功配对的力/力矩。
$$\delta W=\sum_i Q_i\,\delta q_i=Q^T\delta q$$
$$\mathcal L(q,\dot q)=K(q,\dot q)-P(q),\qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q_i}\right)-\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}=\tau_i$$
拉格朗日法的好处是不用对每根杆画完整受力图，而是从能量出发。动能 \(K\) 记录系统“动起来有多难”，势能 \(P\) 记录系统“在保守力场中处于什么高度或弹簧形变”。\(\partial \mathcal L/\partial \dot q\) 可以理解成广义动量，先对它求时间导数，再减去 \(\partial \mathcal L/\partial q\)，就得到为了实现这种运动需要的广义力。对转动关节来说，广义力就是关节力矩；对移动关节来说，广义力就是沿该方向的驱动力。
选广义坐标：通常就是关节角 \(q\)。
写动能：平动 \( \frac12 mv^2 \)，转动 \( \frac12 I\omega^2 \)。
写势能：常见为重力势能 \(mgh\)。
代入方程：整理成 \(M\ddot q+C\dot q+g=\tau\)。
例 3.3 单摆式单连杆推导
必会推导
场景交代：画一根无质量杆，杆上端为固定转轴，杆端集中一个质量点。角度 \(q\) 从竖直向下方向量起，正方向按图中转动方向；外部输入力矩 \(\tau\) 作用在转轴上。
题目：质量 \(m\) 集中在长度 \(l\) 的杆端，角 \(q\) 从竖直向下计，输入力矩 \(\tau\)。推导动力学方程。
单连杆示意：重力作用在质心或杆端，对转轴产生力矩。
图中元素：上方白圈是固定转轴，绿色杆是连杆，蓝色圆表示质心或杆端质量；红色箭头是重力，橙色弧线是关节角 \(q\)。
建模顺序：- 先画关节、连杆、质心、重力方向和输入力矩方向。
- 判断题目类型：给运动求力矩是逆动力学，给力矩求加速度是正动力学。
- 把每一项对应到物理量：惯性、速度相关项、重力、外力或广义力。
- 计算后解释符号方向，尤其是负力矩或负广义力。
解析过程
先选广义坐标。题目只有一个角 \(q\)，所以系统只有一个自由度。质量集中在杆端，端点速度大小为半径 \(l\) 乘角速度 \(\dot q\)，因此动能是平动动能。
$$K=\frac12 m(l\dot q)^2=\frac12 ml^2\dot q^2,\qquad P=mgl(1-\cos q)$$
势能选最低点为零。当 \(q=0\) 时质量在最低点，势能为 0；转到角度 \(q\) 后高度增加 \(l(1-\cos q)\)，所以势能为 \(mgl(1-\cos q)\)。
$$\mathcal L=\frac12 ml^2\dot q^2-mgl(1-\cos q)$$
接下来按拉格朗日方程分别求两项。对 \(\dot q\) 求偏导得到广义动量 \(ml^2\dot q\)，再对时间求导得到 \(ml^2\ddot q\)。对 \(q\) 求偏导时只有势能部分相关，符号要保留。
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q}=ml^2\ddot q,\qquad \frac{\partial\mathcal L}{\partial q}=-mgl\sin q$$
$$ml^2\ddot q+mgl\sin q=\tau$$
最后的方程表示：输入力矩 \(\tau\) 一部分用来产生角加速度 \(ml^2\ddot q\)，另一部分用来克服重力回复力矩 \(mgl\sin q\)。小角度时 \(\sin q\approx q\)，它还会变成常见的线性摆方程。
易错点：势能选零点不同不影响方程；关键是 \(\partial P/\partial q\) 的符号。
例 3.3b 虚功求广义力
概念+计算
场景交代：画一个只能沿水平导轨滑动的滑块，实际位移坐标为 \(x\)，但系统用另一个广义坐标 \(q\) 描述，二者满足 \(x=2q\)。外力沿导轨正方向作用在滑块上。
题目：一个滑块位置满足 \(x=2q\)，外力沿 \(x\) 正方向作用，大小 \(F=12\,\mathrm N\)。求与广义坐标 \(q\) 对应的广义力 \(Q\)。
虚功示意：外力沿实际位移方向做功，再换算成广义坐标上的广义力。
图中元素：蓝色块是沿水平导轨运动的滑块，绿色箭头是实际外力 \(F\)，橙色箭头标出实际位移与广义位移之间的关系；虚功就是力乘对应方向的虚位移。
建模顺序：- 先画关节、连杆、质心、重力方向和输入力矩方向。
- 判断题目类型：给运动求力矩是逆动力学，给力矩求加速度是正动力学。
- 把每一项对应到物理量：惯性、速度相关项、重力、外力或广义力。
- 计算后解释符号方向，尤其是负力矩或负广义力。
解析过程
广义力不是随便把外力名字换成 \(Q\)，而是要看它和广义位移 \(\delta q\) 做虚功时的配对关系。外力做的虚功为：
$$\delta W=F\,\delta x$$
由于 \(x=2q\)，对它取虚位移得到 \(\delta x=2\delta q\)。代入虚功：
$$\delta W=F(2\delta q)=2F\delta q$$
又因为广义力定义为 \(\delta W=Q\delta q\)，所以 \(Q=2F=24\)。这个例子说明：广义力要乘上坐标变换的“放大系数”，不是简单等于外力本身。
易错点：广义力由虚功定义得到：先写 \(\delta W\)，再和 \(Q\delta q\) 对比。
5. Twist、Wrench、Screw 与惯性矩阵
Chapter3 的 Newton-Euler 部分用了现代机器人学语言：twist 表示刚体速度，wrench 表示力和力矩，screw axis 表示旋转和平移耦合的运动轴。这部分若考，多半是概念辨析。
这些概念看起来抽象，其实是在把三维刚体运动写成统一的 6 维形式。刚体在空间中既可能有角速度，也可能有线速度，所以 twist 把两者放在一个向量里；外界对刚体既可能施加力，也可能施加力矩，所以 wrench 也把两者合在一起。screw axis 则表示很多刚体运动都可以看成绕某条轴旋转并沿这条轴平移，螺钉运动就是最直观的例子。
Twist
把角速度和线速度合成 6 维速度量。
$$V=\begin{bmatrix}\omega\\v\end{bmatrix}$$
Wrench
把力矩和力合成 6 维受力量。
$$\mathcal F=\begin{bmatrix}m\\f\end{bmatrix}$$
课件里的 Adjoint representation 是这部分容易漏的点。它的作用是把同一个刚体速度用另一个坐标系表达：物体没有变，变的是参考坐标系。若两个坐标系之间的齐次变换为 \(T_{ab}=\begin{bmatrix}R&p\\0&1\end{bmatrix}\)，常见的 Adjoint 矩阵写成：
$$\operatorname{Ad}_{T_{ab}}=\begin{bmatrix}R&0\\ \left[p\right]_\times R&R\end{bmatrix}$$
其中 \([p]_\times\) 是由位移向量 \(p\) 构造的反对称矩阵，用来表示叉乘。直观地说，角速度换坐标只需要旋转矩阵 \(R\)，但线速度不仅会随坐标轴旋转，还会因为参考点平移 \(p\) 而多出 \(\omega\times p\) 这类项，所以 Adjoint 比普通旋转矩阵更大。wrench 的坐标变换要和 twist 的虚功 \(\mathcal F^TV\) 保持一致，具体写法会随“从哪个坐标系到哪个坐标系”的约定改变；考试更可能考它“改变 twist/wrench 表达坐标系”的作用。
旋转惯性矩阵描述刚体抗拒角加速度变化的能力。对刚体转动动能：
$$K_{rot}=\frac12\omega^TI\omega$$
这里的 \(I\) 不是单位矩阵，而是转动惯量矩阵。它告诉你绕不同方向转动时有多难，也描述不同转轴之间是否耦合。如果坐标轴正好选在主惯性轴上，\(I\) 会变成对角矩阵，计算最简单；如果坐标轴随意选，非对角项就表示绕一个轴的角速度也会影响另一个轴方向的角动量。
考
惯性矩阵会随表达坐标系变化；主惯性轴下惯性矩阵可对角化。
6. 正动力学、逆动力学、Newton-Euler
正动力学
给 \(q,\dot q,\tau\)，求 \(\ddot q\)，常用于仿真。
$$\ddot q=M^{-1}(\tau-C\dot q-g)$$
逆动力学
给 \(q,\dot q,\ddot q\)，求 \(\tau\)，常用于控制。
$$\tau=M\ddot q+C\dot q+g$$
Newton-Euler 法是递推算法：前向递推速度/加速度，后向递推力/力矩。概念题常问它和拉格朗日法的区别：拉格朗日重能量表达，Newton-Euler 重逐连杆受力递推。
正动力学和逆动力学的区别只在“已知量”和“未知量”换了位置。仿真时通常知道控制器给了多少力矩，想知道机器人下一瞬间怎么动，所以用正动力学；控制时常常已经规划好期望加速度，想求电机应该给多少力矩，所以用逆动力学。Newton-Euler 特别适合逆动力学，因为它可以从基座一路算到末端得到每根杆的运动，再从末端倒推回基座得到每个关节需要承担的力和力矩。
Forward iterations：从基座到末端，递推每根连杆的 twist、速度和加速度。
Backward iterations：从末端到基座，递推每根连杆受到的 wrench 和关节力矩。
逆动力学：已知 \(q,\dot q,\ddot q\)，求实现该运动所需 \(\tau\)。
例 3.4 正动力学求加速度
计算
场景交代：画单转动关节带动一根连杆，关节角 \(q\) 已知，电机在关节上施加力矩 \(\tau\)。模型中 \(3\sin q\) 是该姿态下的重力力矩，剩余力矩才用于产生角加速度。
题目：单关节模型 \(2\ddot q+3\sin q=\tau\)。当 \(q=30^\circ\)、\(\tau=5\,\mathrm{N\,m}\) 时，求 \(\ddot q\)。
单关节正动力学求加速度示意：已知输入力矩时，要先扣掉当前姿态的重力项，剩余力矩才用来产生角加速度。
图中元素：左侧输入为 \(\tau=5\)，中间先减去 \(3\sin30^\circ=1.5\)，再除以惯性系数 2；右侧输出 \(\ddot q=1.75\,\mathrm{rad/s^2}\)。这对应把 \(2\ddot q+3\sin q=\tau\) 改写为 \(\ddot q=(\tau-3\sin q)/2\)。
建模顺序：- 先画关节、连杆、质心、重力方向和输入力矩方向。
- 判断题目类型：给运动求力矩是逆动力学，给力矩求加速度是正动力学。
- 把每一项对应到物理量：惯性、速度相关项、重力、外力或广义力。
- 计算后解释符号方向，尤其是负力矩或负广义力。
解析过程
这是正动力学，因为题目给了当前姿态和输入力矩，要求加速度。把 \(q=30^\circ\) 和 \(\tau=5\) 代入动力学方程即可。
$$2\ddot q+3\sin30^\circ=5$$
其中 \(3\sin30^\circ=1.5\) 是当前姿态下的重力项。输入力矩 5 先要克服这部分重力，剩下的力矩才用于产生加速度。
$$2\ddot q+1.5=5\Rightarrow \ddot q=1.75\,\mathrm{rad/s^2}$$
加速度为正，说明输入力矩大于重力项，关节会沿正方向加速。
易错点：三角函数角度代值前要确认单位；计算器常需切换度/弧度。
例 3.5 Newton-Euler 递推思路题
概念+小算
场景交代：画一根运动中的刚体连杆，质心 \(G\) 在杆内部。前向递推已经给出了质心线加速度和连杆角加速度；后向递推要把这些运动量换成等效惯性力和惯性力矩。
题目：某单连杆质心质量 \(m=2\,\mathrm{kg}\)，质心线加速度大小 \(a_G=1.2\,\mathrm{m/s^2}\)，绕质心转动惯量 \(I_G=0.08\,\mathrm{kg\,m^2}\)，角加速度 \(\alpha=5\,\mathrm{rad/s^2}\)。忽略重力时，前向递推得到这些加速度后，后向递推中质心等效惯性力和惯性力矩是多少？
Newton-Euler 递推示意：前向算运动，后向算力和力矩。
图中元素：三个圆代表从基座到末端的连杆/关节序列；上方绿色弧线表示前向递推速度和加速度，下方橙色弧线表示从末端往基座回传力和力矩。
建模顺序：- 先画关节、连杆、质心、重力方向和输入力矩方向。
- 判断题目类型：给运动求力矩是逆动力学，给力矩求加速度是正动力学。
- 把每一项对应到物理量：惯性、速度相关项、重力、外力或广义力。
- 计算后解释符号方向，尤其是负力矩或负广义力。
解析过程
Newton-Euler 的前向递推负责得到每根连杆的速度和加速度；后向递推再用这些加速度计算连杆需要的力和力矩，并传回关节。对一个刚体，最基本的惯性关系就是质心平动 \(F=ma_G\) 和绕质心转动 \(M=I_G\alpha\)。
$$F_{in}=ma_G=2\times1.2=2.4\,\mathrm N$$
$$M_{G,in}=I_G\alpha=0.08\times5=0.40\,\mathrm{N\,m}$$
真实多连杆递推还要考虑坐标变换、相邻连杆传来的力和力矩，以及重力项。这个小题只是在抓住 Newton-Euler 的核心：先算运动，再由运动反推每根杆所需的力和力矩。
易错点：Newton-Euler 不是新物理定律，而是把 \(F=ma\)、\(M=I\alpha\) 系统化递推。
概念题与计算题自测
概念 1
场景交代：画一个多连杆机器人或单摆系统，用关节变量作为广义坐标；解题重点是先写动能和势能，再由能量方程得到关节力矩。
为什么拉格朗日法适合复杂机器人系统？
拉格朗日法示意：先用广义坐标描述构型，再由动能和势能推出动力学方程。
图中元素：左侧绿色摆杆表示由广义坐标 \(q\) 描述的系统，蓝色框表示动能 \(T\)，橙色框表示势能 \(V\)；二者组合成 \(L=T-V\)，再通过拉格朗日方程得到关节力矩。
查看答案与解析
复杂机器人有很多连杆和约束，如果逐个画受力图，很容易漏掉约束力或内力。拉格朗日法从动能和势能出发，直接使用能唯一描述构型的广义坐标，很多约束力不会显式出现在方程里。这样对多自由度机械臂更系统，也更容易整理成标准形式 \(M(q)\ddot q+C(q,\dot q)\dot q+g(q)=\tau\)。
计算 1
场景交代：画一个等效单关节动力学模型，关节正方向已经规定；惯性项 \(M\ddot q\)、速度相关项 \(C\dot q\) 和重力项 \(g\) 都按同一正方向相加得到关节力矩。
若 \(M=4\)，\(C\dot q=1\)，\(g=3\)，\(\ddot q=2\)，求 \(\tau\)。
标量逆动力学求和示意：这是单自由度版本的 \(\tau=M\ddot q+C\dot q+g\)，每一项都是同一关节正方向上的力矩贡献。
图中元素：绿色框是惯性项 \(M\ddot q=4\times2=8\)，蓝色框是速度相关项 \(C\dot q=1\)，黄色框是重力项 \(g=3\)；三项进入求和点后得到总关节力矩 \(\tau=12\)。
查看答案与解析
这是逆动力学代入题。惯性项是 \(M\ddot q=4\times2=8\)，速度相关项已经给出为 1，重力项为 3。三项相加就是关节所需力矩。
$$\tau=4(2)+1+3=12\,\mathrm{N\,m}$$
概念 2
场景交代：画机械臂在某个姿态下悬停不动，速度和加速度为零，但重力仍作用在连杆质心，末端也可能有外部接触力。
静止时机器人关节力矩一定为零吗？
静态重力补偿示意：机器人不动时速度和加速度为零，但重力项仍可能需要关节力矩平衡。
图中元素：绿色连杆悬停在某姿态，红色箭头表示质心重力，橙色弧箭头表示关节需要输出的平衡力矩；静止并不等于电机力矩为零。
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不一定。静止只表示 \(\dot q=0\) 和 \(\ddot q=0\)，因此惯性项和速度相关项消失；但重力项 \(g(q)\) 通常仍然存在。如果末端还受到外部接触力，还会有 \(J^TF\) 这样的静力映射项。所以很多姿态下机器人即使不动，电机也必须持续输出力矩保持平衡。